論文の概要: On connection between perturbation theory and semiclassical expansion in quantum mechanics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2102.04623v3
• Date: Thu, 2 Feb 2023 09:12:49 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-04-12 03:32:50.155571
• Title: On connection between perturbation theory and semiclassical expansion in quantum mechanics
• Title（参考訳）: 量子力学における摂動理論と半古典展開の関係について
• Authors: A.V. Turbiner and E. Shuryak
• Abstract要約: 結合定数$g$のパワーの摂動理論と、エネルギーに対する$hbar1/2$のパワーの半古典的拡張が一致する。 リカティ・ブロッホ方程式 (Riccati-Bloch equation) と一般化ブロッホ方程式 (Generalized Bloch equation) である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: It is shown that for the one-dimensional anharmonic oscillator with potential $V(x)= a x^2 + b g x^3 +\ldots=\frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gx)$, as well as for the radial oscillator $V(r)=\frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gr)$ and for the perturbed Coulomb problem $V(r)=\frac{\alpha}{r}+ \beta g r + \ldots = g\,\tilde{V}(gr)$, the Perturbation Theory in powers of the coupling constant $g$ (weak coupling regime) and the semiclassical expansion in powers of $\hbar^{1/2}$ for the energies coincide. This is related to the fact that the dynamics developed in two spaces: $x\ (r)$-space and $gx\ (gr)$-space, lead to the same energy spectra. The equations which govern dynamics in these two spaces, the Riccati-Bloch equation and the Generalized Bloch equation, respectively, are presented. It is shown that the perturbation theory for the logarithmic derivative of the wavefunction in $gx\ (gr)$- space leads to (true) semiclassical expansion in powers of $\hbar^{1/2}$; for the one-dimensional case this corresponds to the flucton calculus for the density matrix in the path integral formalism in Euclidean (imaginary) time proposed by one of the authors, Shuryak(1988). Matching the perturbation theory in powers of $g$ and the semiclassical expansion in powers of $\hbar^{1/2}$ for the wavefunction leads to a highly accurate local approximation in the entire coordinate space, its expectation value for the Hamiltonian provides a prescription for the summation of the perturbative (trans)-series.
• Abstract（参考訳）: ポテンシャル $V(x) = a x^2 + b g x^3 +\ldots=\frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gx)$ と、放射発振器 $V(r)=\frac{1}{g^2}\,\hat{V}(gr)$ と摂動クーロン問題 $V(r)=\frac {\alpha}{r}+ \beta g r + \ldots = g\,\tilde{V}(gr)$ と、結合定数 $g$ (弱結合系) のパワーにおける摂動理論と、結合定数 $g$ (弱結合系) のパワーにおける半古典的な拡張の $V(r)$ とが一致することが示されている。 これは、2つの空間で発展した動力学: $x\ (r)$-space と $gx\ (gr)$-space であり、同じエネルギースペクトルに繋がるという事実に関連している。 これら2つの空間の動力学を支配する方程式、それぞれ、リカティ・ブロッホ方程式と一般化ブロッホ方程式を示す。 gx\ (gr)$-空間の波動関数の対数微分に対する摂動理論は、$\hbar^{1/2}$の(真の)半古典的展開をもたらすことが示され、1次元の場合、これはユークリッド時間(虚)における経路積分形式における密度行列のフラクトン計算に対応する。 摂動理論を$g$の力でマッチングし、波動関数に対して$\hbar^{1/2}$の半古典的展開は座標空間全体の高度に正確な局所近似をもたらすので、ハミルトニアンに対する期待値は摂動系列の和の処方を提供する。

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