論文の概要: Canonical Typicality For Other Ensembles Than Micro-Canonical
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.15624v3
- Date: Wed, 10 Jan 2024 08:40:22 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-01-11 17:15:19.331170
- Title: Canonical Typicality For Other Ensembles Than Micro-Canonical
- Title(参考訳): マイクロカノニカル以外のアンサンブルの正典型性
- Authors: Stefan Teufel, Roderich Tumulka, Cornelia Vogel
- Abstract要約: 最大固有値 $|rho|$ of $rho$ が小さいときは常に測定の集中が証明される。
これらの典型的な結果は、小さな固有値を持つ密度行列$rho$によって記述されたシステムに対して一般的に成り立つことを示す。
ある種のGAP測度は古典力学の正準アンサンブルの量子アナログであるため、我々の結果はアンサンブルの等価性のバージョンと見なすこともできる。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We generalize L\'evy's lemma, a concentration-of-measure result for the
uniform probability distribution on high-dimensional spheres, to a much more
general class of measures, so-called GAP measures. For any given density matrix
$\rho$ on a separable Hilbert space $\mathcal{H}$, GAP$(\rho)$ is the most
spread out probability measure on the unit sphere of $\mathcal{H}$ that has
density matrix $\rho$ and thus forms the natural generalization of the uniform
distribution. We prove concentration-of-measure whenever the largest eigenvalue
$\|\rho\|$ of $\rho$ is small. We use this fact to generalize and improve
well-known and important typicality results of quantum statistical mechanics to
GAP measures, namely canonical typicality and dynamical typicality. Canonical
typicality is the statement that for ``most'' pure states $\psi$ of a given
ensemble, the reduced density matrix of a sufficiently small subsystem is very
close to a $\psi$-independent matrix. Dynamical typicality is the statement
that for any observable and any unitary time-evolution, for ``most'' pure
states $\psi$ from a given ensemble the (coarse-grained) Born distribution of
that observable in the time-evolved state $\psi_t$ is very close to a
$\psi$-independent distribution. So far, canonical typicality and dynamical
typicality were known for the uniform distribution on finite-dimensional
spheres, corresponding to the micro-canonical ensemble, and for rather special
mean-value ensembles. Our result shows that these typicality results hold in
general for systems described by a density matrix $\rho$ with small
eigenvalues. Since certain GAP measures are quantum analogs of the canonical
ensemble of classical mechanics, our results can also be regarded as a version
of equivalence of ensembles.
- Abstract(参考訳): 高次元球面上の一様確率分布の濃度測定結果であるl\'evyの補題を、より一般的な測度のクラス、いわゆるギャップ測度に一般化する。
分離可能なヒルベルト空間上の任意の密度行列 $\rho$ に対して、gap$(\rho)$ は密度行列 $\rho$ を持ち、したがって一様分布の自然な一般化を形成する $\mathcal{h}$ の単位球面上の最も拡散した確率測度である。
最大固有値$\|\rho\|$ の$\rho$ が小さいとき、集中度測定が証明される。
我々はこの事実を利用して、量子統計力学のよく知られた重要な典型をGAP測度、すなわち標準典型と動的典型に一般化し改善する。
正典型性(canonical typicality)とは、与えられたアンサンブルの$\psi$'純状態に対して、十分小さいサブシステムの密度行列は$\psi$非独立行列に非常に近いという主張である。
動的典型性(Dynamical typicality)とは、任意の観測可能かつ任意のユニタリな時間進化に対して、与えられたアンサンブルから$\psi$(粗い粒度の)の値から$\psi$(\psi$-非依存分布に非常に近いという主張である。
これまでのところ、標準の典型性と力学の典型性は、有限次元球面上の一様分布、マイクロカノニカルアンサンブルに対応する、より特殊な平均値アンサンブルとして知られていた。
その結果, 密度行列 $\rho$ で記述された系では, 固有値が小さい系では, これらの典型的結果が一般的であることがわかった。
ある種のGAP測度は古典力学の正準アンサンブルの量子アナログであるため、我々の結果はアンサンブルの等価性のバージョンと見なすこともできる。
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