論文の概要: Unveiling the geometric meaning of quantum entanglement
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.16835v1
- Date: Mon, 31 Jul 2023 16:58:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-08-01 13:21:05.859912
- Title: Unveiling the geometric meaning of quantum entanglement
- Title（参考訳）: 量子絡み合いの幾何学的意味を明らかにする
- Authors: Arthur Vesperini, Ghofrane Bel-Hadj-Aissa, Lorenzo Capra, and Roberto
Franzosi
- Abstract要約: 量子状態の多様体はリッチで非自明な幾何学的構造を持つことを示す。
量子系の射影ヒルベルト空間のフビニ・スタディ計量を導出する。
この空間の状態の絡み合いと深い関係を考察する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We show that the manifold of quantum states is endowed with a rich and
nontrivial geometric structure. We derive the Fubini-Study metric of the
projective Hilbert space of a quantum system, endowing it with a Riemannian
metric structure, and investigate its deep link with the entanglement of the
states of this space. As a measure we adopt the \emph{entanglement distance}
$E$ preliminary proposed in Ref. \cite{PhysRevA.101.042129}. Our analysis shows
that entanglement has a geometric interpretation: $E(|\psi\rangle$ is the
minimum value of the sum of the squared distances between $\psi\rangle$ and its
conjugate states, namely the states ${\bf v}^\mu \cdot {\bm \sigma}^\mu
|\psi\rangle$, where ${\bf v}^\mu$ are unit vectors and $\mu$ runs on the
number of parties. Within the proposed geometric approach, we derive a general
method to determine when two states are not the same state up to the action of
local unitary operators.
Furthermore, we prove that the entanglement distance, along with its convex
roof expansion to mixed states, fulfils the three conditions required for an
entanglement measure: that is {\it i)} $E(|\psi\rangle) =0$ iff $|\psi\rangle$
is fully separable; {\it ii)} $E$ is invariant under local unitary
transformation; {\it iii)} $E$ doesn't increase under local operation and
classical communications. Two different proofs are provided for this latter
property.
We also show that in the case of two qubits pure states, the entanglement
distance for a state $|\psi\rangle$ coincides with two times the square of the
concurrence of this state.
Finally, we apply the proposed geometric approach to the study of the
entanglement magnitude and the equivalence classes properties, of three
families of states linked to the Greenberger-Horne-Zeilinger states, the
Briegel Raussendorf states and the W states.
- Abstract（参考訳）: 量子状態の多様体はリッチで非自明な幾何学的構造を持つことを示す。
我々は、量子系の射影ヒルベルト空間のフビニ・スタディ計量を導出し、リーマン計量構造を導出し、この空間の状態の絡み合いと深い関係を解明する。
測度として、ref で提案された \emph{entanglement distance} $E$ プリミティブを採用します。
略称はPhysRevA.101.042129。
e(|\psi\rangle$) は、$\psi\rangle$ とその共役状態の間の二乗距離の和の最小値、すなわち${\bf v}^\mu \cdot {\bm \sigma}^\mu |\psi\rangle$ である。
提案された幾何学的アプローチの中で、2つの状態が局所ユニタリ作用素の作用で同じ状態でないかどうかを決定する一般的な方法が導かれる。
さらに, 絡み合い距離は, 凸屋根の混合状態への膨張とともに, 絡み合い対策に必要な3つの条件を満たしていることを証明した。
e(|\psi\rangle) =0$ iff $|\psi\rangle$ は完全に分離可能である。
ii)}$E$は局所ユニタリ変換の下で不変である;
iii)}$E$は、ローカル操作や古典的な通信では増加しない。
この性質には2つの異なる証明がある。
また、2つの量子ビット純粋状態の場合、状態 $|\psi\rangle$ の絡み合い距離は、この状態の2倍の2倍と一致することも示している。
最後に,greenberger-horne-zeilinger状態,briegel raussendorf状態,w状態と結びついた3つの状態の絡み合いの大きさと同値類の性質の研究に幾何学的アプローチを適用した。
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