論文の概要: The Born Rule is a Feature of Superposition
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.04188v2
- Date: Fri, 27 Oct 2023 13:50:00 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-10-30 16:37:44.785434
- Title: The Born Rule is a Feature of Superposition
- Title（参考訳）: 生まれながらの規則は重ね合わせの特徴である
- Authors: David Ellerman
- Abstract要約: 重ね合わせ事象は通常の有限確率理論に追加される。
原始規則は自然に重ね合わせの数学から生じる。
数学が$mathbbRn$の代わりに$mathbbCn$を使用する場合、それ以上の説明は必要ない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Finite probability theory is enriched by introducing the mathematical notion
(no physics involved) of a superposition event $\Sigma S$--in addition to the
usual discrete event $S$ (subset of the outcome space $U=\left(
u_{1},...,u_{n}\right) $). Mathematically, the two types of events are
distinguished using $n\times n$ density matrices. The density matrix
$\rho\left( S\right) $ for a discrete event is diagonal and the density matrix
$\rho\left( \Sigma S\right) $ is obtained as an outer product $\left\vert
s\right\rangle \left\langle s\right\vert $ of a normalized vector $\left\vert
s\right\rangle \in \mathbb{R}^{n}$. Probabilities are defined using density
matrices as $\Pr\left( T|\rho\right) =\operatorname*{tr}\left[ P_{T}\rho\right]
$ where $T\subseteq U$ and $P_{T}$ is the diagonal projection matrix with
diagonal entries $\chi_{T}\left( u_{i}\right) $. Then for the singleton
$\left\{ u_{i}\right\} \subseteq U$, the probability of the outcome $u_{i}$
conditioned by the \textit{superposition} event $\Sigma S$ is $\Pr\left(
\left\{ u_{i}\right\} |\Sigma S\right) =\left\langle u_{i}|s\right\rangle
^{2}$, the Born Rule. Thus the Born Rule arises naturally from the mathematics
of superposition when superposition events are added to ordinary finite
probability theory. No further explanation is required when the mathematics
uses $ \mathbb{C}^{n}$ instead of $\mathbb{R}^{n}$ except that the square
$\left\langle u_{i}|s\right\rangle ^{2}$ is the absolute square $\left\vert
\left\langle u_{i}|s\right\rangle \right\vert ^{2}$.
- Abstract（参考訳）: 有限確率論は、通常の離散事象である$S$(結果空間のサブセット$U=\left( u_{1}, ...,u_{n}\right)$)に加えて、重ね合わせ事象の数学的概念(物理学を含まない)を$\Sigma S$-導入することによって強化される。
数学的には、2種類の事象はn$密度行列を用いて区別される。
離散事象に対する密度行列 $\rho\left(S\right) $ は対角行列であり、密度行列 $\rho\left( \Sigma S\right) $ は外積 $\left\vert s\right\rangle \left\langle s\right\vert $ の正規化ベクトル $\left\vert s\right\rangle \in \mathbb{R}^{n}$ として得られる。
確率は密度行列で定義される: $\pr\left(t|\rho\right) =\operatorname*{tr}\left[ p_{t}\rho\right] $ where $t\subseteq u$ と $p_{t}$ は対角成分 $\chi_{t}\left(u_{i}\right) $ を持つ対角射影行列である。
このとき、シングルトン $\left\{ u_{i}\right\} \subseteq U$ に対して、結果の確率 $u_{i}$ は \textit{superposition} イベントによって条件付けられ、$\Sigma S$ は $\Pr\left( \left\{ u_{i}\right\} |\Sigma S\right) =\left\langle u_{i}|s\right\rangle ^{2}$ である。
したがって、ボルン則は通常の有限確率論に重ね合わせの事象が加えられたときの重ね合わせの数学から自然に生じる。
数学が$\mathbb{c}^{n}$の代わりに$\mathbb{r}^{n}$を使用するとき、次の説明は必要ないが、正方形の$\left\langle u_{i}|s\right\rangle ^{2}$は絶対平方の$\left\vert \left\langle u_{i}|s\right\rangle \right\vert ^{2}$である。
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