論文の概要: Time integration schemes based on neural networks for solving partial differential equations on coarse grids

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2310.10308v1
• Date: Mon, 16 Oct 2023 11:43:08 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-10-18 01:37:13.955721
• Title: Time integration schemes based on neural networks for solving partial differential equations on coarse grids
• Title（参考訳）: 粗い格子上の偏微分方程式を解くためのニューラルネットワークに基づく時間積分法
• Authors: Xinxin Yan, Zhideng Zhou, Xiaohan Cheng, Xiaolei Yang
• Abstract要約: 偏微分方程式を解く3段階線形多段階法の学習に焦点をあてる。 学習された完全制約スキームの予測誤差は,Runge-Kutta法やAdams-Bashforth法に近いことを示す。 従来の手法と比較して、学習された制約のない半制約のスキームは粗い格子上の予測誤差を著しく低減する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The accuracy of solving partial differential equations (PDEs) on coarse grids is greatly affected by the choice of discretization schemes. In this work, we propose to learn time integration schemes based on neural networks which satisfy three distinct sets of mathematical constraints, i.e., unconstrained, semi-constrained with the root condition, and fully-constrained with both root and consistency conditions. We focus on the learning of 3-step linear multistep methods, which we subsequently applied to solve three model PDEs, i.e., the one-dimensional heat equation, the one-dimensional wave equation, and the one-dimensional Burgers' equation. The results show that the prediction error of the learned fully-constrained scheme is close to that of the Runge-Kutta method and Adams-Bashforth method. Compared to the traditional methods, the learned unconstrained and semi-constrained schemes significantly reduce the prediction error on coarse grids. On a grid that is 4 times coarser than the reference grid, the mean square error shows a reduction of up to an order of magnitude for some of the heat equation cases, and a substantial improvement in phase prediction for the wave equation. On a 32 times coarser grid, the mean square error for the Burgers' equation can be reduced by up to 35% to 40%.
• Abstract（参考訳）: 粗い格子上の偏微分方程式(pdes)の解の精度は、離散化スキームの選択に大きく影響される。 そこで本研究では,3つの異なる数学的制約セット,すなわち根条件と半拘束され,根条件と一貫性条件の両方で完全に拘束された,ニューラルネットワークに基づく時間統合スキームを学習することを提案する。 我々は3段階線形多段階法の学習に焦点をあて、その後3つのモデルPDE、すなわち1次元熱方程式、1次元波動方程式、および1次元バーガーズ方程式を解いた。 その結果,学習された完全制約スキームの予測誤差は,Runge-Kutta法やAdams-Bashforth法に近いことがわかった。 従来の方法と比較すると、学習未拘束と半拘束のスキームは粗い格子の予測誤差を大幅に低減させる。 基準格子の4倍の粗い格子上では、平均二乗誤差は、いくつかの熱方程式の場合の最大等級の減少と、波動方程式の位相予測の大幅な改善を示す。 32倍の粗い格子では、バーガースの方程式の平均平方誤差を最大35%から40%まで減少させることができる。

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