論文の概要: Projective toric designs, quantum state designs, and mutually unbiased bases

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.13479v3
• Date: Wed, 27 Nov 2024 23:10:09 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-02 15:15:08.314998
• Title: Projective toric designs, quantum state designs, and mutually unbiased bases
• Title（参考訳）: 射影トーリック設計、量子状態設計、相互非バイアス基底
• Authors: Joseph T. Iosue, T. C. Mooney, Adam Ehrenberg, Alexey V. Gorshkov,
• Abstract要約: Toric $t$-designs はトーラス上の点の集合で、和はトーラス上の次数 $t$ monomials の積分を再現する。 トーリックおよび射影トーリックデザインの様々な新しい構成を提供し、そのサイズに限界を証明している。 また、射影トーリック設計を用いて量子状態設計のファミリを構築する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: Toric $t$-designs, or equivalently $t$-designs on the diagonal subgroup of the unitary group, are sets of points on the torus over which sums reproduce integrals of degree $t$ monomials over the full torus. Motivated by the projective structure of quantum mechanics, we develop the notion of $t$-designs on the projective torus, which have a much more restricted structure than their counterparts on full tori. We provide various new constructions of toric and projective toric designs and prove bounds on their size. We draw connections between projective toric designs and a diverse set of mathematical objects, including difference and Sidon sets from the field of additive combinatorics, symmetric, informationally complete positive operator valued measures and complete sets of mutually unbiased bases (MUBs) from quantum information theory, and crystal ball sequences of certain root lattices. Using these connections, we prove bounds on the maximal size of dense $B_t \bmod m$ sets. We also use projective toric designs to construct families of quantum state designs. In particular, we construct families of (uniformly-weighted) quantum state $2$-designs in dimension $d$ of size exactly $d(d+1)$ that do not form complete sets of MUBs, thereby disproving a conjecture concerning the relationship between designs and MUBs (Zhu 2015). We then propose a modification of Zhu's conjecture and discuss potential paths towards proving this conjecture. We prove a fundamental distinction between complete sets of MUBs in prime-power dimensions versus in dimension $6$ (and, we conjecture, in all non-prime-power dimensions), the distinction relating to group structure of the corresponding projective toric design. Finally, we discuss many open questions about the properties of these projective toric designs and how they relate to other questions in number theory, geometry, and quantum information.
• Abstract（参考訳）: トーリック$t$-設計(トーリック$t$-設計、英: Toric $t$-designs)は、ユニタリ群の対角部分群上の$t$-設計であり、和がトーラス上の次数$t$単項積分を再現するトーラス上の点の集合である。 量子力学の射影構造に動機付けられて、射影トーラス上の$t$-designsという概念を開発し、完全なトーラス上のそれよりもはるかに制限された構造を持つ。 トーリックおよび射影トーリックデザインの様々な新しい構成を提供し、そのサイズに限界を証明している。 我々は、射影トーリック設計と、加法コンビネータの分野からの差分とシドン集合、対称的、情報的に完備な正の演算子値測度、量子情報理論から相互に偏りのない基底(MUB)の完全集合、および特定の根格子の結晶球列を含む様々な数学的対象との接続を描く。 これらの接続を用いて、高密度な$B_t \bmod m$集合の最大サイズ上の有界性を証明する。 また、射影トーリック設計を用いて量子状態設計のファミリを構築する。 特に、(一様に重み付けられた)量子状態の族を、寸法$d$の次元で$d$(d+1)$で構成し、MUBの完全な集合を成さないため、設計とMUBの関係に関する予想を否定する(Zhu 2015)。 次に、ズー予想の修正を提案し、この予想を証明するための潜在的経路について議論する。 素数次元における MUB の完全集合と6$(およびすべての非素数次元において予想される)次元における MUB の基本的な区別を証明し、対応する射影トーリック設計の群構造に関する区別を示す。 最後に、これらの射影トーリック設計の性質や、数論、幾何学、量子情報における他の問題との関係について、多くのオープンな疑問を議論する。

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