論文の概要: Physics-informed neural networks for transformed geometries and manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2311.15940v2
• Date: Wed, 29 Nov 2023 15:46:23 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-11-30 12:33:35.776375
• Title: Physics-informed neural networks for transformed geometries and manifolds
• Title（参考訳）: 変換幾何および多様体に対する物理学的不定形ニューラルネットワーク
• Authors: Samuel Burbulla
• Abstract要約: 本稿では,幾何学的変分を頑健に適合させるために,PINN内に幾何変換を統合する新しい手法を提案する。 従来のPINNに対して,特に幾何学的変動下での柔軟性の向上を実証する。 提案したフレームワークは、パラメータ化されたジオメトリ上でのディープ・ニューラル演算子のトレーニングの展望を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Physics-informed neural networks (PINNs) effectively embed physical principles into machine learning, but often struggle with complex or alternating geometries. We propose a novel method for integrating geometric transformations within PINNs to robustly accommodate geometric variations. Our method incorporates a diffeomorphism as a mapping of a reference domain and adapts the derivative computation of the physics-informed loss function. This generalizes the applicability of PINNs not only to smoothly deformed domains, but also to lower-dimensional manifolds and allows for direct shape optimization while training the network. We demonstrate the effectivity of our approach on several problems: (i) Eikonal equation on Archimedean spiral, (ii) Poisson problem on surface manifold, (iii) Incompressible Stokes flow in deformed tube, and (iv) Shape optimization with Laplace operator. Through these examples, we demonstrate the enhanced flexibility over traditional PINNs, especially under geometric variations. The proposed framework presents an outlook for training deep neural operators over parametrized geometries, paving the way for advanced modeling with PDEs on complex geometries in science and engineering.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は、物理原理を機械学習に効果的に組み込むが、複雑または交互なジオメトリに苦しむことが多い。 そこで本研究では, PINN内に幾何変換を統合する手法を提案する。 本手法は、参照領域の写像として微分同相を組み込み、物理インフォームド損失関数の微分計算を適用する。 これにより、PINNは滑らかに変形した領域だけでなく、低次元多様体にも適用でき、ネットワークのトレーニング中に直接形状最適化が可能となる。 いくつかの問題に対する我々のアプローチの効果を示す。 (i)アルキメデススパイラルの固有方程式 (ii)表面多様体上のポアソン問題 (iii)変形管内の非圧縮性ストークス流、及び (iv)ラプラス演算子による形状最適化。 これらの例を通して,従来のピンの柔軟性,特に幾何学的変動について述べる。 提案したフレームワークは、パラメータ化されたジオメトリよりも深いニューラル演算子を訓練するための見通しを示し、科学と工学における複雑なジオメトリ上のPDEを用いた高度なモデリングの道を開く。

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