論文の概要: Group Theoretical Classification of SIC-POVMs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2401.11026v1
• Date: Fri, 19 Jan 2024 20:55:52 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-01-23 18:15:57.691873
• Title: Group Theoretical Classification of SIC-POVMs
• Title（参考訳）: sic-povmのグループ理論的分類
• Authors: Solomon B. Samuel and Zafer Gedik
• Abstract要約: 対称行列の部分空間上の2つの関数によって形成される曲面の臨界点上にSIC-POVMグラマー行列が存在することを示す。 次元 4 と 5 において、対称性が小さい解が存在しないことは、非群共変 SIC-POVM が構築できないことを強く示唆している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Symmetric Informationally Complete Positive Operator-Valued Measures (SIC-POVMs) are known to exist in all dimensions $\leq 151$ and few higher dimensions as high as $1155$. All known solutions with the exception of the Hoggar solutions are covariant with respect to the Weyl-Heisenberg group and in the case of dimension 3 it has been proven that all SIC-POVMs are Weyl-Heisenberg group covariant. In this work, we introduce two functions with which SIC-POVM Gram matrices can be generated without the group covariance constraint. We show analytically that the SIC-POVM Gram matrices exist on critical points of surfaces formed by the two functions on a subspace of symmetric matrices and we show numerically that in dimensions 4 to 7, all SIC-POVM Gram matrices lie in disjoint solution "islands". We generate $O(10^6)$ and $O(10^5)$ Gram matrices in dimensions 4 and 5, respectively and $O(10^2)$ Gram matrices in dimensions 6 and 7. For every Gram matrix obtained, we generate the symmetry groups and show that all symmetry groups contain a subgroup of $3n^2$ elements. The elements of the subgroup correspond to the Weyl-Heisenberg group matrices and the order-3 unitaries that generate them. All constructed Gram matrices have a unique generating set. Using this fact, we generate permutation matrices to map the Gram matrices to known Weyl-Heisenberg group covariant solutions. In dimensions 4 and 5, the absence of a solution with a smaller symmetry, strongly suggests that non-group covariant SIC-POVMs cannot be constructed.
• Abstract（参考訳）: Symmetric Informationally Complete Positive Operator-Valued Measures (SIC-POVMs) はすべての次元に$\leq 151$と$155$の高次元が存在することが知られている。 ホガー解を除くすべての既知の解はワイル・ハイゼンベルク群に関して共変であり、次元 3 の場合、すべての SIC-POVM がワイル・ハイゼンベルク群共変であることが証明されている。 本研究では,SIC-POVM 文法行列を群共分散制約なしで生成できる2つの関数を提案する。 SIC-POVM 文法行列は対称行列の部分空間上の2つの関数によって形成される曲面の臨界点上に存在し、次元 4 から 7 においてすべての SIC-POVM 文法行列が解「島」にあることを数値的に示す。 次元 4 と 5 のグラム行列は $O(10^6)$ と $O(10^5)$ を、次元 6 と 7 のグラム行列は $O(10^2)$ を生成する。 得られたすべてのグラム行列に対して、対称性群を生成し、すべての対称性群が3n^2$要素の部分群を含むことを示す。 部分群の要素はワイル=ハイゼンベルク群行列とそれらを生成する位数-3ユニタリに対応する。 構築された全てのグラム行列はユニークな生成集合を持つ。 この事実を利用して置換行列を生成し、グラム行列を既知のワイル・ハイゼンベルク群共変解に写像する。 次元 4 と 5 において、対称性が小さい解が存在しないことは、非群共変 SIC-POVM は構築できないことを強く示唆している。

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