論文の概要: A Novel Finite Fractional Fourier Transform and its Quantum Circuit Implementation on Qudits

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2409.05759v1
• Date: Mon, 9 Sep 2024 16:15:53 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-10 13:56:09.401711
• Title: A Novel Finite Fractional Fourier Transform and its Quantum Circuit Implementation on Qudits
• Title（参考訳）: 新しい有限差分フーリエ変換とその量子回路実装
• Authors: Emmanuel Floratos, Archimedes Pavlidis,
• Abstract要約: 離散分数フーリエ変換(DFrFT)の新しい数論的定義を提案する。 DFrFT は算術回転群 $SO_2[mathbbZ_pn]$ の生成元の N 倍 N$ 次元ユニタリ表現として定義される。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We present a new number theoretic definition of discrete fractional Fourier transform (DFrFT) . In this approach the DFrFT is defined as the $N \times N$ dimensional unitary representation of the generator of the arithmetic rotational group $SO_{2}[\mathbb{Z}_N]$, which is the finite set of $\bmod N$ integer, $2\times 2$ matrices acting on the points of the discrete toroidal phase space lattice $\mathbb{Z}_N \times \mathbb{Z}_N$, preserving the euclidean distance $\bmod N$. We construct explicitly, using techniques of the Finite Quantum Mechanics (FQM), the $p^n$ dimensional unitary matrix representation of the group $SO_{2}[\mathbb{Z}_{p^n}]$ and especially we work out in detail the one which corresponds to the generator. This is our definition of the arithmetic fractional Fourier transform (AFrFT). Following this definition, we proceed to the construction of efficient quantum circuits for the AFrFT, on sets of $n$ $p$-dimensional qudits with $p$ a prime integer, by introducing novel quantum subcircuits for diagonal operators with quadratic phases as well as new quantum subcircuits for multipliers by a constant. The quantum subcircuits that we introduce provide a set capable to construct quantum circuits for any element of a more general group, the group of Linear Canonical Transformations (LCT), $SL_{2}[\mathbb{Z}_N]$ of the toroidal phase space lattice. As a byproduct, extensions of the diagonal and multiplier quantum circuits for both the qudit and qubit case are given, which are useful alone in various applications. Also, we analyze the depth, width and gate complexity of the efficient AFrFT quantum circuit and we estimate its gate complexity which is of the order $O(n^2)$, its depth which is of the order $O(n)$ with depth $n$, while at the same time it has a structure permitting local interactions between the qudits.
• Abstract（参考訳）: 離散分数フーリエ変換(DFrFT)の新しい数論的定義を提案する。 このアプローチでは、DFrFT は、算術回転群 $SO_{2}[\mathbb{Z}_N]$ の生成元に関する$N \times N$ 次元ユニタリ表現として定義され、これは、離散トロイダル位相空間格子 $\mathbb{Z}_N \times \mathbb{Z}_N$ の点に作用する$\bmod N$ の有限集合である。 我々は、Finite Quantum Mechanics (FQM) の技法を用いて、群 $SO_{2}[\mathbb{Z}_{p^n}]$ の$p^n$ 次元ユニタリ行列表現を明示的に構成する。 これは算術分数フーリエ変換(AFrFT)の定義である。 この定義に従うと、二次位相を持つ対角作用素のための新しい量子サブ回路と、乗算器のための新しい量子サブ回路を定数で導入することにより、$n$$$p$-dimensional qudits with $p$ a prime integer で AFrFT のための効率的な量子回路の構築を進める。 私たちが導入する量子サブ回路は、より一般的な群の任意の要素、例えば線形正準変換群(LCT)、SL_{2}[\mathbb{Z}_N]$のトロイダル位相空間格子の量子回路を構成することができる集合を提供する。 副生成物として、quditとqubitケースの両方に対する対角および乗算器量子回路の拡張が与えられるが、これは様々な用途でのみ有用である。 また、効率的なAFrFT量子回路の深さ、幅、ゲートの複雑さを分析し、そのゲートの複雑さを$O(n^2)$、深さ$O(n)$、深さ$n$と見積もると同時に、クォーディット間の局所的な相互作用を許容する構造を持つ。

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