論文の概要: Quantum Realization of the Finite Element Method
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.19512v1
- Date: Thu, 28 Mar 2024 15:44:20 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-03-29 15:44:37.890732
- Title: Quantum Realization of the Finite Element Method
- Title（参考訳）: 有限要素法の量子化
- Authors: Matthias Deiml, Daniel Peterseim,
- Abstract要約: 本稿では,二階線形楕円偏微分方程式を$d$線形有限要素で離散化するための量子アルゴリズムを提案する。
BPXプリコンディショナーは、線形システムを十分によく条件付けされたシステムに変換し、量子計算が可能である。
本稿では,我々のアルゴリズムの実行が可能な量子回路の設計と実装について詳述し,有限要素法の量子実現性をサポートするシミュレータ結果について述べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: This paper presents a quantum algorithm for the solution of prototypical second-order linear elliptic partial differential equations discretized by $d$-linear finite elements on Cartesian grids of a bounded $d$-dimensional domain. An essential step in the construction is a BPX preconditioner, which transforms the linear system into a sufficiently well-conditioned one, making it amenable to quantum computation. We provide a constructive proof demonstrating that our quantum algorithm can compute suitable functionals of the solution to a given tolerance $\texttt{tol}$ with a complexity linear in $\texttt{tol}^{-1}$ for a fixed dimension $d$, neglecting logarithmic terms. This complexity is proportional to that of its one-dimensional counterpart and improves previous quantum algorithms by a factor of order $\texttt{tol}^{-2}$. We also detail the design and implementation of a quantum circuit capable of executing our algorithm, and present simulator results that support the quantum feasibility of the finite element method in the near future, paving the way for quantum computing approaches to a wide range of PDE-related challenges.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,有界な$d$次元領域のカルテシアン格子上に,$d$線形有限要素で離散化された二階線形楕円偏微分方程式の解を求める量子アルゴリズムを提案する。
この構成における重要なステップはBPXプリコンディショナーであり、線形系を十分によく条件付けられたものに変換し、量子計算が可能である。
我々は、我々の量子アルゴリズムが与えられた寛大さに対する解の適切な関数を$\texttt{tol}$で複素線型で計算できることを示し、固定次元$d$に対して$\texttt{tol}^{-1}$で計算し、対数項を無視することを示す構成的証明を提供する。
この複雑さは1次元のそれと比例し、以前の量子アルゴリズムを$\texttt{tol}^{-2}$の係数で改善する。
また、我々のアルゴリズムを実行することができる量子回路の設計と実装について詳述するとともに、近い将来に有限要素法の量子実現性をサポートするシミュレーター結果について述べる。
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