論文の概要: Quantum Realization of the Finite Element Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2403.19512v2
• Date: Thu, 12 Sep 2024 12:34:10 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-09-13 22:02:48.138552
• Title: Quantum Realization of the Finite Element Method
• Title（参考訳）: 有限要素法の量子化
• Authors: Matthias Deiml, Daniel Peterseim,
• Abstract要約: 本稿では,二階線形楕円偏微分方程式を$d$線形有限要素で離散化するための量子アルゴリズムを提案する。 この構成において重要なステップはBPXプリコンディショナーであり、線形系を十分によく調和されたものに変換する。 我々は、任意の固定次元に対して、我々の量子アルゴリズムが与えられた寛容に対する解の適切な機能を計算することができることを示す構成的証明を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This paper presents a quantum algorithm for the solution of prototypical second-order linear elliptic partial differential equations discretized by $d$-linear finite elements on Cartesian grids of a bounded $d$-dimensional domain. An essential step in the construction is a BPX preconditioner, which transforms the linear system into a sufficiently well-conditioned one, making it amenable to quantum computation. We provide a constructive proof demonstrating that, for any fixed dimension, our quantum algorithm can compute suitable functionals of the solution to a given tolerance $\mathtt{tol}$ with an optimal complexity of order $\mathtt{tol}^{-1}$ up to logarithmic terms, significantly improving over existing approaches. Notably, this approach does not rely on regularity of the solution and achieves quantum advantage over classical solvers in two dimensions, whereas prior quantum methods required at least four dimensions for asymptotic benefits. We further detail the design and implementation of a quantum circuit capable of executing our algorithm, present simulator results, and report numerical experiments on current quantum hardware, confirming the feasibility of preconditioned finite element methods for near-term quantum computing.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,有界な$d$次元領域のカルテシアン格子上に,$d$線形有限要素で離散化された二階線形楕円偏微分方程式の解を求める量子アルゴリズムを提案する。 この構成における重要なステップはBPXプリコンディショナーであり、線形系を十分によく条件付けられたものに変換し、量子計算が可能である。 任意の固定次元に対して、我々の量子アルゴリズムは、与えられた寛容に対する解の適切な関数を、オーダー$\mathtt{tol}^{-1}$の最適複雑さで計算し、既存のアプローチよりも大幅に改善できることを示す構成的証明を提供する。 特に、このアプローチは解の正則性に頼らず、2次元の古典的解法よりも量子的優位性を達成するのに対して、先行量子法は漸近的利益のために少なくとも4次元を必要とする。 我々は、我々のアルゴリズムを実行し、シミュレーター結果を示し、現在の量子ハードウェアに関する数値実験を報告できる量子回路の設計と実装について詳述し、短期量子コンピューティングにおける事前条件付き有限要素法の実現可能性を確認した。

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