論文の概要: Quantum Algorithm For Solving Nonlinear Algebraic Equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2404.03810v2
- Date: Thu, 1 Aug 2024 14:16:05 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-08-02 14:04:46.350690
- Title: Quantum Algorithm For Solving Nonlinear Algebraic Equations
- Title（参考訳）: 非線形代数方程式の解く量子アルゴリズム
- Authors: Nhat A. Nghiem, Tzu-Chieh Wei,
- Abstract要約: 非線形代数方程式系を解くための量子アルゴリズムを与える。
本手法は,変数数に対して,多言語時間(polylogarithmic time)を推定するために,詳細な解析を行った。
特に,本手法は様々な種類の問題に対処する努力をほとんど行わずに修正可能であることを示し,本手法の汎用性を示唆する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Nonlinear equations are challenging to solve due to their inherently nonlinear nature. As analytical solutions typically do not exist, numerical methods have been developed to tackle their solutions. In this article, we give a quantum algorithm for solving a system of nonlinear algebraic equations, in which each equation is a multivariate polynomial of known coefficients. Building upon the classical Newton method and some recent works on quantum algorithm plus block encoding from the quantum singular value transformation, we show how to invert the Jacobian matrix to execute Newton's iterative method for solving nonlinear equations, where each contributing equation is a homogeneous polynomial of an even degree. A detailed analysis are then carried out to reveal that our method achieves polylogarithmic time in relative to the number of variables. Furthermore, the number of required qubits is logarithmic in the number of variables. In particular, we also show that our method can be modified with little effort to deal with polynomial of various types, thus implying the generality of our approach. Some examples coming from physics and algebraic geometry, such as Gross-Pitaevski equation, Lotka-Volterra equations, and intersection of algebraic varieties, involving nonlinear partial differential equations are provided to motivate the potential application, with a description on how to extend our algorithm with even less effort in such a scenario. Our work thus marks a further important step towards quantum advantage in nonlinear science, enabled by the framework of quantum singular value transformation.
- Abstract（参考訳）: 非線形方程式は、本質的に非線形の性質のため、解決が難しい。
解析解は通常存在しないため、それらの解に取り組むために数値法が開発されている。
本稿では、各方程式が既知の係数の多変量多項式である非線形代数方程式の系を解くための量子アルゴリズムを提案する。
古典ニュートン法と量子特異値変換からブロックを符号化する量子アルゴリズムに関する最近の研究に基づいて、各寄与方程式が偶数の斉次多項式であるようなニュートンの非線形方程式を解くために、ジャコビアン行列を逆転してニュートンの反復法を実行する方法を示す。
そこで,本手法が変数数に対して多対数時間を実現することを明らかにするために,詳細な解析を行った。
さらに、必要なキュービットの数は変数の数で対数的である。
特に,本手法は様々なタイプの多項式にほとんど対応せず修正可能であることを示し,本手法の一般化を示唆する。
Gross-Pitaevski方程式、Lotka-Volterra方程式、代数多様体の交叉など、物理学や代数幾何学のいくつかの例は、潜在的な応用を動機付けるために非線形偏微分方程式を含むもので、そのようなシナリオにおいて我々のアルゴリズムをさらに少ない労力で拡張する方法が説明されている。
我々の研究は、量子特異値変換の枠組みによって実現された非線形科学における量子優位へのさらなる重要な一歩である。
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