論文の概要: Rigged Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Generalized Eigenfunction Decompositions for Koopman Operators
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2405.00782v2
- Date: Mon, 02 Dec 2024 22:20:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-04 15:38:13.417821
- Title: Rigged Dynamic Mode Decomposition: Data-Driven Generalized Eigenfunction Decompositions for Koopman Operators
- Title（参考訳）: 剛動的モード分解:コップマン作用素に対するデータ駆動一般化固有関数分解
- Authors: Matthew J. Colbrook, Catherine Drysdale, Andrew Horning,
- Abstract要約: そこで我々は,Koopman演算子の一般化固有関数分解を計算するRiged Dynamic Mode Decomposition (Rigged DMD)アルゴリズムを提案する。
例として、ルベーグスペクトルを持つ系、可積分ハミルトニアン系、ローレンツ系、および2次元正方形空洞内のレイノルズ数蓋駆動流れについて述べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: We introduce the Rigged Dynamic Mode Decomposition (Rigged DMD) algorithm, which computes generalized eigenfunction decompositions of Koopman operators. By considering the evolution of observables, Koopman operators transform complex nonlinear dynamics into a linear framework suitable for spectral analysis. While powerful, traditional Dynamic Mode Decomposition (DMD) techniques often struggle with continuous spectra. Rigged DMD addresses these challenges with a data-driven methodology that approximates the Koopman operator's resolvent and its generalized eigenfunctions using snapshot data from the system's evolution. At its core, Rigged DMD builds wave-packet approximations for generalized Koopman eigenfunctions and modes by integrating Measure-Preserving Extended Dynamic Mode Decomposition with high-order kernels for smoothing. This provides a robust decomposition encompassing both discrete and continuous spectral elements. We derive explicit high-order convergence theorems for generalized eigenfunctions and spectral measures. Additionally, we propose a novel framework for constructing rigged Hilbert spaces using time-delay embedding, significantly extending the algorithm's applicability (Rigged DMD can be used with any rigging). We provide examples, including systems with a Lebesgue spectrum, integrable Hamiltonian systems, the Lorenz system, and a high-Reynolds number lid-driven flow in a two-dimensional square cavity, demonstrating Rigged DMD's convergence, efficiency, and versatility. This work paves the way for future research and applications of decompositions with continuous spectra.
- Abstract（参考訳）: そこで我々は,Koopman演算子の一般化固有関数分解を計算するRiged Dynamic Mode Decomposition (Rigged DMD)アルゴリズムを提案する。
可観測物の進化を考えることで、クープマン作用素は複素非線形力学をスペクトル解析に適した線形フレームワークに変換する。
強力な動的モード分解(DMD)技術は、しばしば連続スペクトルと競合する。
Rigged DMDは、クープマン作用素のリゾルバと、システムの進化からスナップショットデータを用いて一般化された固有関数を近似するデータ駆動方法論を用いて、これらの課題に対処する。
Rigged DMDはその中核として、一般的なクープマン固有関数とモードのためのウェーブパケット近似を構築し、測定保存拡張動的モード分解と高次カーネルをスムース化するために統合する。
これにより、離散的および連続的なスペクトル要素の両方を包含する堅牢な分解が得られる。
一般化固有関数とスペクトル測度に対する明示的な高階収束定理を導出する。
さらに,時間遅延埋め込みを用いたヒルベルト空間構築のための新しいフレームワークを提案し,アルゴリズムの適用性を大幅に拡張した(リグドDMDは任意のリグで使用できる)。
例として、ルベーグスペクトルを持つ系、可積分ハミルトニアン系、ローレンツ系、および2次元正方形空洞内の高レイノルズ数蓋駆動流れを例示し、Riged DMDの収束、効率、汎用性を示す。
この研究は、連続スペクトルによる分解の研究と応用の道を開くものである。
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