論文の概要: UGrid: An Efficient-And-Rigorous Neural Multigrid Solver for Linear PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2408.04846v1
• Date: Fri, 9 Aug 2024 03:46:35 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-08-12 16:48:31.512219
• Title: UGrid: An Efficient-And-Rigorous Neural Multigrid Solver for Linear PDEs
• Title（参考訳）: UGrid: 線形PDEのための効率的かつリゴラスなニューラルマルチグリッドソルバー
• Authors: Xi Han, Fei Hou, Hong Qin,
• Abstract要約: 本稿では,線形PDEに対する数学的に厳密なニューラルソルバについて述べる。 U-NetとMultiGridを原理的に統合したUGridソルバは、収束性と正確性の両方の数学的に厳密な証明である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 18.532617548168123
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Numerical solvers of Partial Differential Equations (PDEs) are of fundamental significance to science and engineering. To date, the historical reliance on legacy techniques has circumscribed possible integration of big data knowledge and exhibits sub-optimal efficiency for certain PDE formulations, while data-driven neural methods typically lack mathematical guarantee of convergence and correctness. This paper articulates a mathematically rigorous neural solver for linear PDEs. The proposed UGrid solver, built upon the principled integration of U-Net and MultiGrid, manifests a mathematically rigorous proof of both convergence and correctness, and showcases high numerical accuracy, as well as strong generalization power to various input geometry/values and multiple PDE formulations. In addition, we devise a new residual loss metric, which enables unsupervised training and affords more stability and a larger solution space over the legacy losses.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)の数値解法は、科学や工学において基本的な意味を持つ。 これまで、レガシー技術への歴史的依存は、ビッグデータの知識の統合を回避し、特定のPDE定式化のための準最適効率を示す一方で、データ駆動型ニューラルネットワークは、収束と正しさの数学的保証を欠いていた。 本稿では,線形PDEに対する数学的に厳密なニューラルソルバについて述べる。 U-NetとMultiGridの原理的な統合に基づいて構築されたUGridソルバは、収束性と正確性の両方の数学的に厳密な証明を示し、様々な入力幾何学/値と複数のPDE定式化への強力な一般化力を示す。 さらに、教師なしのトレーニングを可能にし、レガシの損失に対してさらなる安定性と解空間を確保できる新たな残留損失指標を考案する。

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