論文の概要: Graph Fourier Neural Kernels (G-FuNK): Learning Solutions of Nonlinear Diffusive Parametric PDEs on Multiple Domains
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2410.04655v1
- Date: Wed, 9 Oct 2024 13:46:31 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-11-02 02:47:36.372441
- Title: Graph Fourier Neural Kernels (G-FuNK): Learning Solutions of Nonlinear Diffusive Parametric PDEs on Multiple Domains
- Title（参考訳）: グラフフーリエニューラルカーネル(G-FuNK):複数領域上の非線形拡散パラメトリックPDEの学習解
- Authors: Shane E. Loeffler, Zan Ahmad, Syed Yusuf Ali, Carolyna Yamamoto, Dan M. Popescu, Alana Yee, Yash Lal, Natalia Trayanova, Mauro Maggioni,
- Abstract要約: グラフフーリエニューラルカーネルに基づくニューラル演算子の新しいファミリーを導入する。
G-FuNKはパラメータ適応されたコンポーネントと、そうでないコンポーネントを組み合わせる。
実験では、G-FuNKが熱、反応拡散、心電気生理学的方程式を正確に近似する能力を示した。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.8780581594260926
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
- Abstract: Predicting time-dependent dynamics of complex systems governed by non-linear partial differential equations (PDEs) with varying parameters and domains is a challenging task motivated by applications across various fields. We introduce a novel family of neural operators based on our Graph Fourier Neural Kernels, designed to learn solution generators for nonlinear PDEs in which the highest-order term is diffusive, across multiple domains and parameters. G-FuNK combines components that are parameter- and domain-adapted with others that are not. The domain-adapted components are constructed using a weighted graph on the discretized domain, where the graph Laplacian approximates the highest-order diffusive term, ensuring boundary condition compliance and capturing the parameter and domain-specific behavior. Meanwhile, the learned components transfer across domains and parameters via Fourier Neural Operators. This approach naturally embeds geometric and directional information, improving generalization to new test domains without need for retraining the network. To handle temporal dynamics, our method incorporates an integrated ODE solver to predict the evolution of the system. Experiments show G-FuNK's capability to accurately approximate heat, reaction diffusion, and cardiac electrophysiology equations across various geometries and anisotropic diffusivity fields. G-FuNK achieves low relative errors on unseen domains and fiber fields, significantly accelerating predictions compared to traditional finite-element solvers.
- Abstract（参考訳）: パラメータや領域の異なる非線形偏微分方程式(PDE)によって支配される複素系の時間依存力学を予測することは、様々な分野にわたる応用によって動機付けられた課題である。
グラフフーリエニューラルカーネルをベースとしたニューラル演算系の新しいファミリを導入し,複数のドメインやパラメータにまたがる高次項が拡散可能な非線形PDEの解生成系を学習する。
G-FuNKはパラメータとドメイン適応のコンポーネントを、そうでないコンポーネントと組み合わせている。
ドメイン適応コンポーネントは、離散化ドメイン上の重み付きグラフを用いて構成され、グラフラプラシアンは、最高次微分項を近似し、境界条件の遵守を確保し、パラメータとドメイン固有の振る舞いをキャプチャする。
一方、学習したコンポーネントは、Fourier Neural Operatorsを介してドメインとパラメータ間で転送される。
このアプローチは、幾何学的および方向的な情報を自然に埋め込んで、ネットワークの再トレーニングを必要とせずに、新しいテスト領域への一般化を改善する。
時間的ダイナミクスの処理には,システム進化を予測するための統合ODEソルバが組み込まれている。
実験により、G-FuNKは様々な測地および異方性拡散場にわたる熱、反応拡散、心電気生理学的方程式を正確に近似する能力を示した。
G-FuNKは、目に見えない領域や繊維の相対誤差が低く、従来の有限要素解法と比較して予測が著しく加速する。
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