論文の概要: LDPC stabilizer codes as gapped quantum phases: stability under graph-local perturbations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.02384v1
• Date: Mon, 04 Nov 2024 18:52:44 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-05 21:26:59.452379
• Title: LDPC stabilizer codes as gapped quantum phases: stability under graph-local perturbations
• Title（参考訳）: LDPC安定化器符号とギャップ量子相--グラフ局所摂動下での安定性
• Authors: Wojciech De Roeck, Vedika Khemani, Yaodong Li, Nicholas O'Dea, Tibor Rakovszky,
• Abstract要約: 我々は、ブラヴィイ、ハスティングス、ミチャラキスによる位相秩序の安定性の証明を、低密度パリティチェック符号に対応するハミルトン群に一般化する。 LDPC符号は、非ユークリッド設定においても、一般に安定なギャップ付き量子位相を定義する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.025206105035672277
• License:
• Abstract: We generalize the proof of stability of topological order, due to Bravyi, Hastings and Michalakis, to stabilizer Hamiltonians corresponding to low-density parity check (LDPC) codes without the restriction of geometric locality in Euclidean space. We consider Hamiltonians $H_0$ defined by $[[N,K,d]]$ LDPC codes which obey certain topological quantum order conditions: (i) code distance $d \geq c \log(N)$, implying local indistinguishability of ground states, and (ii) a mild condition on local and global compatibility of ground states; these include good quantum LDPC codes, and the toric code on a hyperbolic lattice, among others. We consider stability under weak perturbations that are quasi-local on the interaction graph defined by $H_0$, and which can be represented as sums of bounded-norm terms. As long as the local perturbation strength is smaller than a finite constant, we show that the perturbed Hamiltonian has well-defined spectral bands originating from the $O(1)$ smallest eigenvalues of $H_0$. The band originating from the smallest eigenvalue has $2^K$ states, is separated from the rest of the spectrum by a finite energy gap, and has exponentially narrow bandwidth $\delta = C N e^{-\Theta(d)}$, which is tighter than the best known bounds even in the Euclidean case. We also obtain that the new ground state subspace is related to the initial code subspace by a quasi-local unitary, allowing one to relate their physical properties. Our proof uses an iterative procedure that performs successive rotations to eliminate non-frustration-free terms in the Hamiltonian. Our results extend to quantum Hamiltonians built from classical LDPC codes, which give rise to stable symmetry-breaking phases. These results show that LDPC codes very generally define stable gapped quantum phases, even in the non-Euclidean setting, initiating a systematic study of such phases of matter.
• Abstract（参考訳）: 我々は、ブラヴィイ、ハスティングス、ミチャラキスによる位相秩序の安定性の証明を、ユークリッド空間における幾何学的局所性を制限することなく、低密度パリティチェック(LDPC)符号に対応するハミルトン群を安定化させるために一般化する。 我々は、ある位相的量子秩序条件に従う、$[[N,K,d]]$ LDPC符号で定義されるハミルトニアンの$H_0$を考える。 (i)符号距離$d \geq c \log(N)$ 基底状態の局所的不一致性を暗示し、 (II) 基底状態の局所的および大域的整合性に関する穏やかな条件: 良い量子LDPC符号、双曲格子上のトーリック符号など。 我々は、$H_0$で定義される相互作用グラフ上で準局所であり、有界ノルム項の和として表される弱い摂動の下での安定性を考える。 局所摂動強度が有限定数より小さい限り、摂動ハミルトニアンは$O(1)$の最小固有値である$H_0$のスペクトル帯域を十分に定義していることを示す。 最小固有値から発するバンドは、2^K$状態を持ち、スペクトルの残りの部分から有限エネルギーギャップで分離され、指数的に狭い帯域幅$\delta = C N e^{-\Theta(d)}$を持ち、ユークリッドの場合でさえ最もよく知られた境界よりも厳密である。 また、新しい基底状態部分空間は、準局所ユニタリによって初期コード部分空間と関連付けられており、それらの物理特性を関連付けることができる。 我々の証明は、ハミルトンの非フラストレーション自由項を除去するために連続的な回転を実行する反復的な手順を用いる。 我々の結果は、古典的なLDPC符号から構築された量子ハミルトニアンに拡張され、安定な対称性を破る位相が生じる。 これらの結果から、LDPC符号は、非ユークリッド状態においても、安定なギャップ量子位相を非常によく定義しており、そのような物質相の体系的な研究を開始することが示されている。

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