論文の概要: On the relationship between Koopman operator approximations and neural ordinary differential equations for data-driven time-evolution predictions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.12940v1
- Date: Wed, 20 Nov 2024 00:18:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-11-21 16:11:45.519385
- Title: On the relationship between Koopman operator approximations and neural ordinary differential equations for data-driven time-evolution predictions
- Title（参考訳）: データ駆動時間進化予測におけるクープマン作用素近似とニューラル常微分方程式の関係について
- Authors: Jake Buzhardt, C. Ricardo Constante-Amores, Michael D. Graham,
- Abstract要約: 辞書学習による拡張動的モード分解(EDMD-DL)は、状態空間上の非線形離散時間フローマップのニューラルネットワーク表現と等価であることを示す。
それぞれのモデル構造と訓練手順の異なる側面を組み合わせることで,数種類のニューラル常微分方程式(ODE)とEDMD-DLを実装した。
ロレンツ系におけるカオス力学の数値実験と乱流せん断流れの9モードモデルを用いてこれらの手法を評価する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: This work explores the relationship between state space methods and Koopman operator-based methods for predicting the time-evolution of nonlinear dynamical systems. We demonstrate that extended dynamic mode decomposition with dictionary learning (EDMD-DL), when combined with a state space projection, is equivalent to a neural network representation of the nonlinear discrete-time flow map on the state space. We highlight how this projection step introduces nonlinearity into the evolution equations, enabling significantly improved EDMD-DL predictions. With this projection, EDMD-DL leads to a nonlinear dynamical system on the state space, which can be represented in either discrete or continuous time. This system has a natural structure for neural networks, where the state is first expanded into a high dimensional feature space followed by a linear mapping which represents the discrete-time map or the vector field as a linear combination of these features. Inspired by these observations, we implement several variations of neural ordinary differential equations (ODEs) and EDMD-DL, developed by combining different aspects of their respective model structures and training procedures. We evaluate these methods using numerical experiments on chaotic dynamics in the Lorenz system and a nine-mode model of turbulent shear flow, showing comparable performance across methods in terms of short-time trajectory prediction, reconstruction of long-time statistics, and prediction of rare events. We also show that these methods provide comparable performance to a non-Markovian approach in terms of prediction of extreme events.
- Abstract（参考訳）: 本研究では、状態空間法とクープマン演算子に基づく非線形力学系の時間進化予測法との関係について検討する。
本研究では, 拡張動的モード分解と辞書学習(EDMD-DL)が, 状態空間投影と組み合わせれば, 状態空間上の非線形離散時間フローマップのニューラルネットワーク表現と等価であることを示す。
このプロジェクションステップが進化方程式に非線形性を導入し、EDMD-DL予測を大幅に改善する方法について強調する。
この射影により、EDMD-DLは状態空間上の非線形力学系を導き、離散時間または連続時間で表すことができる。
このシステムは、ニューラルネットワークの自然な構造を持ち、まず状態が高次元の特徴空間に拡張され、次に離散時間マップまたはベクトル場をこれらの特徴の線形結合として表現する線形写像が続く。
これらの観測にインスパイアされた我々は、それぞれのモデル構造と訓練手順の異なる側面を組み合わせることで、ニューラル常微分方程式(ODE)とEDMD-DLの様々なバリエーションを実装した。
我々は,ロレンツ系におけるカオス力学の数値実験と乱流せん断流の9モードモデルを用いて,短時間の軌跡予測,長期統計の再構築,希少事象の予測といった手法に匹敵する性能を示す。
また,これらの手法は,極端な事象の予測に関して,非マルコフ的手法に匹敵する性能を示すことを示す。
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