論文の概要: Discrete Quantum Walks with Marked Vertices and Their Average Vertex Mixing Matrices

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.16676v2
• Date: Wed, 18 Dec 2024 18:54:59 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-19 13:23:08.590786
• Title: Discrete Quantum Walks with Marked Vertices and Their Average Vertex Mixing Matrices
• Title（参考訳）: マーク付き頂点をもつ離散量子ウォークとその平均頂点混合行列
• Authors: Amulya Mohan, Hanmeng Zhan,
• Abstract要約: 我々は、$AMM$のエントリのバウンダリを見つけ、これらのバウンダリがタイトであるかどうかを調べる。 この境界に達する量子ウォークに対して、$AMMS,S]$が対称、正の半定値、あるいは均一であるかどうかを決定する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: We study the discrete quantum walk on a regular graph $X$ that assigns negative identity coins to marked vertices $S$ and Grover coins to the unmarked ones. We find combinatorial bases for the eigenspaces of the transtion matrix, and derive a formula for the average vertex mixing matrix $\AMM$. We then find bounds for entries in $\AMM$, and study when these bounds are tight. In particular, the average probabilities between marked vertices are lower bounded by a matrix determined by the induced subgraph $X[S]$, the vertex-deleted subgraph $X\backslash S$, and the edge deleted subgraph $X-E(S)$. We show this bound is achieved if and only if the marked vertices have walk-equitable neighborhoods in the vertex-deleted subgraph. Finally, for quantum walks attaining this bound, we determine when $\AMM[S,S]$ is symmetric, positive semidefinite or uniform.
• Abstract（参考訳）: 我々は、正則グラフ $X$ 上で離散的な量子ウォークを研究し、負のアイデンティティコインをマークされた頂点 $S$ とグロバーコインをマークされていないものに割り当てる。 変換行列の固有空間に対する組合せ基底を見つけ、平均頂点混合行列の式を$\AMM$とする。 次に、$\AMM$のエントリのバウンダリを見つけ、これらのバウンダリがタイトであるかどうかを調べる。 特に、マークされた頂点間の平均確率は、誘導されたサブグラフ$X[S]$、頂点削除されたサブグラフ$X\backslash S$、エッジ削除されたサブグラフ$X-E(S)$で決定された行列によって下界される。 この境界は、マークされた頂点が頂点削除部分グラフにウォーキング等価な近傍を持つ場合にのみ達成されることを示す。 最後に、この境界に達する量子ウォークに対して、$\AMM[S,S]$が対称、正の半定値、あるいは均一であるかを決定する。

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