論文の概要: A topological theory for qLDPC: non-Clifford gates and magic state fountain on homological product codes with constant rate and beyond the $N^{1/3}$ distance barrier

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2501.19375v1
• Date: Fri, 31 Jan 2025 18:25:24 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-03 13:57:47.216275
• Title: A topological theory for qLDPC: non-Clifford gates and magic state fountain on homological product codes with constant rate and beyond the $N^{1/3}$ distance barrier
• Title（参考訳）: qLDPCの位相論的理論--非クリフォードゲートと定速度および$N^{1/3}$距離障壁を超えるホモロジー積符号上のマジック状態泉
• Authors: Guanyu Zhu,
• Abstract要約: 我々は,量子低密度パリティチェック(qLDPC)とトポロジカルコードにおけるフォールトトレラント量子計算の統一理論を開発した。 製品構築から得られたすべてのqLDPCおよびCSSコードに対して、トポロジ的データを符号化する隠された単純複素構造が存在することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License:
• Abstract: We develop a unified theory for fault-tolerant quantum computation in quantum low-density parity-check (qLDPC) and topological codes. We show that there exist hidden simplicial complex structures encoding the topological data for all qLDPC and CSS codes obtained from product construction by generalizing the Freedman-Hastings code-to-manifold mapping. This is achieved by building manifolds corresponding to high-dimensional topological expanders from the Tanner graphs of the skeleton classical or quantum codes, which further form a product manifold and an associated thickened product code defined on its triangulation with only a constant qubit overhead. This suggests that qLDPC or more generally CSS codes obtained from product constructions are topological, and hence can admit cohomology operations such as cup products, physically corresponding to higher symmetries in the underlying topological quantum field theory. When applying this mapping to a 3D hypergraph product code obtained from the product of 3 copies of good classical expander codes, we obtain the first non-Clifford logical CCZ gates via constant depth circuits on a code with constant stabilizer weight $w=O(1)$, constant rate $K=\Theta(N)$, and polynomial distance $D=\Omega(N^{1/3})$. When applied to 3D homological product codes consisting of the product of a pair of good quantum and classical LDPC codes, we can further improve the distance to $D=\Omega(\sqrt{N})$ exceeding the $N^{1/3}$ distance barrier implied by the Bravyi-K\"onig bound for conventional topological codes. Our work suggests that it is feasible to apply native logical non-Clifford gates on qLDPC codes or directly inject high-fidelity magic states as resources (`magic state fountain') without the distillation process. For the homological product construction, the fountain can inject $\Theta(\sqrt{N})$ magic states in parallel in a single round.
• Abstract（参考訳）: 我々は,量子低密度パリティチェック(qLDPC)とトポロジカルコードにおけるフォールトトレラント量子計算の統一理論を開発した。 製品構築から得られたすべてのqLDPCおよびCSS符号のトポロジデータを符号化する隠された単純複素構造が,フリードマン・ハスティングス符号-マンフォールド写像を一般化することによって存在することを示す。 これは、スケルトン古典あるいは量子符号のタナーグラフから高次元トポロジカル展開器に対応する多様体を構築することで達成される。 このことは、製品構成から得られるqLDPCまたはより一般的なCSSコードはトポロジカルであり、従って、基礎となるトポロジカル量子場理論のより高い対称性に物理的に対応するカップ積のようなコホモロジー演算を許容することができることを示唆している。 このマッピングを古典的拡張器符号の3コピーの積から得られる3Dハイパーグラフ製品コードに適用すると、定数安定化器重み$w=O(1)$、定数レート$K=\Theta(N)$、多項式距離$D=\Omega(N^{1/3})$の符号上の定深さ回路を介して、最初の非クリフォード論理CCZゲートが得られる。 良い量子と古典的なLDPC符号の積からなる3Dホモロジー積符号に適用すると、従来の位相符号のブラヴィ・K\オニグ境界によって示される$N^{1/3}$距離障壁を超える$D=\Omega(\sqrt{N})$の距離をさらに改善することができる。 本研究は,qLDPC符号にネイティブ論理的非クリフォードゲートを適用したり,蒸留工程を使わずに高忠実度マジック状態を資源として直接注入することが可能であることを示唆している。 ホモロジー積の構成に対して、噴水は1ラウンドで$\Theta(\sqrt{N})$マジックステートを平行に注入することができる。

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