論文の概要: A note on the quantum Wielandt inequality

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2504.21638v1
• Date: Wed, 30 Apr 2025 13:40:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-05-06 18:49:35.082499
• Title: A note on the quantum Wielandt inequality
• Title（参考訳）: 量子ヴィーランドの不等式について
• Authors: Owen Ekblad,
• Abstract要約: ラハマンによって導入された作用素代数的方法を拡張して、任意の原始シュワルツ写像の原性指数が少なくとも2(D-1)2$であることを示す方法を示す。 行列積状態の親ハミルトニアンの性質について、ペレス=ガルシア、ヴェルシュトラーテ、ウルフ、シラクの予想とどのように関係するかを簡単に議論する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: In this note, we show how to extend operator algebraic methods introduced by Rahaman to prove that the index of primitivity of any primitive Schwarz map is at most $2(D-1)^2$, where $D$ is the dimension of the underlying matrix algebra. This inequality was first proved by Rahaman for Schwarz maps which were both unital and trace preserving. We show here that the assumption of unitality is automatic (up to normalization) for primitive Schwarz maps, but, in general, not all primitive unital Schwarz maps are trace preserving. Therefore, the precise purpose of this note is to showcase how to apply the proof of Rahaman to arbitrary primitive Schwarz maps. As a corollary of this theorem, we show that the index of primitivity of any primitive 2-positive map is at most $2(D-1)^2$, so in particular this bound holds for arbitrary primitive completely positive maps. We briefly discuss of how this relates to a conjecture of Perez-Garcia, Verstraete, Wolf and Cirac concerning properties of parent Hamiltonians of matrix product states.
• Abstract（参考訳）: ここでは、ラハマンによって導入された作用素代数的方法を拡張して、任意の原始シュワルツ写像のプライミティティの指数が少なくとも 2(D-1)^2$ であることを証明する方法を示す。 この不等式は、単体とトレース保存の両方であったシュワルツ写像に対して、ラハマンによって初めて証明された。 ここでは、原始シュワルツ写像に対するユニタリ性の仮定が自動(正規化まで)であることが示されるが、一般にすべての原始ユニタリシュヴァルツ写像はトレース保存であるわけではない。 したがって、このノートの正確な目的は、任意の原始シュワルツ写像にラハマンの証明を適用する方法を示すことである。 この定理の系として、任意の原始 2-正写像の原性指数が少なくとも 2(D-1)^2$ であることを示し、特にこの境界は任意の原始完全正写像に対して成り立つ。 行列積状態の親ハミルトニアンの性質について、ペレス=ガルシア、ヴェルシュトラーテ、ウルフ、シラクの予想とどのように関係するかを簡単に議論する。

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