論文の概要: Quantum algorithm for solving generalized eigenvalue problems with application to the Schrödinger equation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.13534v1
- Date: Mon, 16 Jun 2025 14:24:30 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-06-17 17:28:48.689898
- Title: Quantum algorithm for solving generalized eigenvalue problems with application to the Schrödinger equation
- Title（参考訳）: 一般化固有値問題の解法とシュレーディンガー方程式への応用
- Authors: Grzegorz Rajchel-Mieldzioć, Szymon Pliś, Emil Zak,
- Abstract要約: 励起状態エネルギーの推定は、システムサイズによる指数的スケーリングのために古典的なアルゴリズムでは困難である。
パラメータ化行列系列の固有値と特異値を推定するための量子アルゴリズムを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Accurate computation of multiple eigenvalues of quantum Hamiltonians is essential in quantum chemistry, materials science, and molecular spectroscopy. Estimating excited-state energies is challenging for classical algorithms due to exponential scaling with system size, posing an even harder problem than ground-state calculations. We present a quantum algorithm for estimating eigenvalues and singular values of parameterized matrix families, including solving generalized eigenvalue problems that frequently arise in quantum simulations. Our method uses quantum amplitude amplification and phase estimation to identify matrix eigenvalues by locating minima in the singular value spectrum. We demonstrate our algorithm by proposing a quantum-computing formulation of the pseudospectral collocation method for the Schr\"odinger equation. We estimate fault-tolerant quantum resource requirements for the quantum collocation method, showing favorable scaling in the size of the problem $N$ (up to $\widetilde{\mathcal{O}}(\sqrt{N})$) compared to classical implementations with $\mathcal{O}(N^2)$, for certain well-behaved potentials. Additionally, unlike the standard collocation method, which results in a generalized eigenvalue problem requiring matrix inversion, our algorithm circumvents the associated numerical instability by scanning a parameterized matrix family and detecting eigenvalues through singular value minimization. This approach is particularly effective when multiple eigenvalues are needed or when the generalized eigenvalue problem involves a high condition number. In the fault-tolerant era, our method may thus be useful for simulating high-dimensional molecular systems with dense spectra involving highly excited states, such as those encountered in molecular photodynamics or quasi-continuum regimes in many-body and solid-state systems.
- Abstract（参考訳）: 量子ハミルトニアンの複数の固有値の正確な計算は、量子化学、材料科学、分子分光学において不可欠である。
励起状態エネルギーの推定は、システムサイズによる指数的スケーリングによって古典的なアルゴリズムでは困難であり、基底状態計算よりもさらに難しい問題を引き起こす。
本稿では、量子シミュレーションで頻繁に発生する一般化固有値問題を解くことを含む、パラメータ化行列系列の固有値と特異値を推定する量子アルゴリズムを提案する。
本手法では, 量子振幅増幅と位相推定を用いて, 特異値スペクトルの最小値を求めることにより, 行列固有値の同定を行う。
我々は、シュリンガー方程式の擬スペクトルコロケーション法を量子計算で定式化することにより、我々のアルゴリズムを実証する。
量子コロケーション法におけるフォールトトレラントな量子リソース要件を推定し、ある有界ポテンシャルに対して$\mathcal{O}(N^2)$の古典的な実装と比較して、問題の大きさのスケーリングに$N$(最大$\widetilde{\mathcal{O}}(\sqrt{N})$)が好ましいことを示す。
さらに,行列インバージョンを必要とする一般化固有値問題をもたらす標準コロケーション法とは異なり,パラメータ化行列ファミリーをスキャンし,特異値最小化により固有値を検出することにより,関連する数値不安定性を回避できる。
このアプローチは、複数の固有値が必要な場合や、一般化された固有値問題が高い条件数を含む場合、特に効果的である。
したがって, 耐故障時代においては, 分子光力学や準連続状態などの高励起状態を含む高次元分子系と高密度スペクトルのシミュレーションに有用であると考えられる。
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