論文の概要: Fredholm Neural Networks for forward and inverse problems in elliptic PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.06038v1
- Date: Tue, 08 Jul 2025 14:40:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-07-09 16:34:38.169613
- Title: Fredholm Neural Networks for forward and inverse problems in elliptic PDEs
- Title（参考訳）: 楕円型PDEにおける前方・逆問題に対するフレドホルムニューラルネットワーク
- Authors: Kyriakos Georgiou, Constantinos Siettos, Athanasios N. Yannacopoulos,
- Abstract要約: 我々は、線形および半線形楕円偏微分方程式の前方および逆問題に取り組むためにフレームワークを拡張した。
提案手法は、固定点反復の反復過程を表現するために設計されたディープニューラルネットワーク(DNN)で構成されている。
提案手法は, 精度と説明可能性の両立を保証し, 領域内における誤差を小さくし, 境界上での機械的精度に近いことを実証する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Building on our previous work introducing Fredholm Neural Networks (Fredholm NNs/ FNNs) for solving integral equations, we extend the framework to tackle forward and inverse problems for linear and semi-linear elliptic partial differential equations. The proposed scheme consists of a deep neural network (DNN) which is designed to represent the iterative process of fixed-point iterations for the solution of elliptic PDEs using the boundary integral method within the framework of potential theory. The number of layers, weights, biases and hyperparameters are computed in an explainable manner based on the iterative scheme, and we therefore refer to this as the Potential Fredholm Neural Network (PFNN). We show that this approach ensures both accuracy and explainability, achieving small errors in the interior of the domain, and near machine-precision on the boundary. We provide a constructive proof for the consistency of the scheme and provide explicit error bounds for both the interior and boundary of the domain, reflected in the layers of the PFNN. These error bounds depend on the approximation of the boundary function and the integral discretization scheme, both of which directly correspond to components of the Fredholm NN architecture. In this way, we provide an explainable scheme that explicitly respects the boundary conditions. We assess the performance of the proposed scheme for the solution of both the forward and inverse problem for linear and semi-linear elliptic PDEs in two dimensions.
- Abstract（参考訳）: 積分方程式を解くためにFredholm Neural Networks (Fredholm NNs/FNNs)を導入した以前の研究に基づいて、線形および半線形楕円偏微分方程式の前方および逆問題に取り組むためにフレームワークを拡張した。
提案手法は、ポテンシャル理論の枠組みにおける境界積分法を用いて楕円型PDEの解に対する固定点反復の反復過程を表現するために設計されたディープニューラルネットワーク(DNN)からなる。
層数, 重み, バイアス, ハイパーパラメータの数は反復的スキームに基づいて説明可能な方法で計算されるので, これを潜在的フレドホルムニューラルネットワーク(PFNN)と呼ぶ。
提案手法は, 精度と説明可能性の両立を保証し, 領域内における誤差を小さくし, 境界上での機械的精度に近いことを実証する。
PFNNの層に反映される領域の内部および境界の両方に対して、スキームの整合性に関する構成的証明を提供し、明示的なエラー境界を提供する。
これらの誤差境界は境界関数と積分離散化スキームの近似に依存し、どちらもフレドホルムNNアーキテクチャのコンポーネントと直接対応している。
このようにして、境界条件を明示的に尊重する説明可能なスキームを提供する。
線形および半線形楕円型PDEの2次元における前方および逆問題の解法に関する提案手法の性能を評価する。
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