論文の概要: Open Quantum Systems as Regular Holonomic $\mathcal{D}$-Modules: The Mixed Hodge Structure of Spectral Singularities

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.19487v1
• Date: Mon, 22 Dec 2025 15:43:35 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-23 18:54:32.809295
• Title: Open Quantum Systems as Regular Holonomic $\mathcal{D}$-Modules: The Mixed Hodge Structure of Spectral Singularities
• Title（参考訳）: 正則ホロノミック $\mathcal{D}$-モジュールとしての開量子系:スペクトル特異性の混合ホッジ構造
• Authors: Prasoon Saurabh,
• Abstract要約: オープン量子系は、斎藤の意味での textbf Hodge Module 構造の下にあることを示す。 この同定により、textbfGrothendieck 6-functor 形式を散逸ダイナミクスに厳格に適用できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The geometric description of open quantum systems via the Quantum Geometric Tensor (QGT) traditionally relies on the assumption that the physical states form a differentiable vector bundle over the parameter manifold. This framework becomes ill-posed at spectral singularities, such as Exceptional Points, where the eigen-bundle admits no local trivialization due to dimension reduction. In this work, we resolve this obstruction by demonstrating that the family of Liouvillian superoperators $\mathcal{L}(k)$ over a complex parameter manifold $X$ canonically defines a \textbf{regular holonomic $\mathcal{D}_X$-module} $\mathcal{M}$. By identifying the physical coherence order with the Hodge filtration and the decay rate hierarchy with the \textbf{Kashiwara filtration}, we show that the open quantum system underlies a \textbf{Mixed Hodge Module (MHM)} structure in the sense of Saito. This identification allows us to apply the \textbf{Grothendieck six-functor formalism} rigorously to dissipative dynamics. We prove that the divergence corresponds to a non-trivial cohomology class in $\text{Ext}^1_{\mathcal{D}_X}$, thereby regularizing the Quantum Geometric Tensor without ad-hoc cutoffs. Specifically, the ``singular component'' of the Complete QGT arises as the residue of the connection on the \textbf{Brieskorn lattice} associated with the vanishing cycles functor.
• Abstract（参考訳）: 量子幾何学テンソル(QGT)による開量子系の幾何学的記述は、伝統的に物理状態がパラメータ多様体上の微分可能なベクトル束を形成するという仮定に依存している。 この枠組みは例外点のようなスペクトル特異点に悪影響を及ぼし、固有バンドルは次元の減少による局所的な自明性を認めない。 本研究では、複素パラメータ多様体上のリウヴィリアン超作用素の族 $\mathcal{L}(k)$ が \textbf{regular holonomic $\mathcal{D}_X$-module} $\mathcal{M}$ を定義することを証明して、この障害を解決する。 ホッジフィルタによる物理的コヒーレンス秩序と, 崩壊率階層を \textbf{Kashihara Filter} で同定することにより, 開量子系が, 斎藤の意味では \textbf{Mixed Hodge Module (MHM) 構造の下にあることを示す。 この同定により、放散動力学に厳密に \textbf{Grothendieck 6-functor formalism} を適用することができる。 発散は$\text{Ext}^1_{\mathcal{D}_X}$の非自明なコホモロジークラスに対応し、従って量子幾何学テンソルをアドホックカットオフなしで正規化する。 具体的には、完全 QGT の ``singular component'' は、消滅するサイクル関手に関連する \textbf{Brieskorn lattice} 上の接続の残余として生じる。

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