論文の概要: Rayleigh-Ritz Variational Method in The Complex Plane
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.02257v1
- Date: Fri, 27 Feb 2026 19:58:00 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-04 21:38:10.470398
- Title: Rayleigh-Ritz Variational Method in The Complex Plane
- Title（参考訳）: 複素平面におけるレイリー・リッツ変分法
- Authors: M. W. AlMasri,
- Abstract要約: 一般化ガウス公試函数に対して、正規化可能性条件 $|| tfrac12$ を厳格に導出する。
実験族が真の解を含むとき、Segal--Bargmann空間における基底状態の正確な回復を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: We present a systematic study of the Rayleigh--Ritz variational method for quantum oscillators in the Segal--Bargmann space. We rigorously derive the normalizability condition $|α| < \tfrac{1}{2}$ for generalized Gaussian trial functions $ψ(z) = e^{αz^2 + βz}$ through convergence analysis of Gaussian integrals in the complex plane. Applications to the harmonic oscillator demonstrate exact recovery of the ground state in Segal--Bargmann space when the trial family contains the true solution. For the quartic anharmonic oscillator ($\hat{H} = -\tfrac{1}{2}\partial_x^2 + \tfrac{1}{2}x^2 + λx^4$), adaptive Gaussian ansätze in position space yield a cubic stationarity equation and perturbative energy expansions beyond first order, capturing anharmonic wavefunction narrowing. In contrast, monomial trial functions ($ψ_n(z) = z^n$) in the Segal--Bargmann space -- while providing rigorous upper bounds $E_n = n + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3λ}{4}(2n^2 + 2n + 1)$ for excited states -- lack width adaptability and are limited to first-order accuracy for ground-state calculations. We further analyze displaced Gaussians and displaced monomials for asymmetric potentials (e.g., $x^3 + x^4$), showing that displacement parameters are essential to capture parity breaking and stabilization effects ($E_0 \approx \tfrac{1}{2} + \tfrac{3μ}{4} - \tfrac{9λ^2}{4} + \cdots$).
- Abstract（参考訳）: 本稿では、セガル-バルグマン空間における量子発振器のレイリー-リッツ変分法について体系的研究を行う。
複素平面におけるガウス積分の収束解析を通して、一般化されたガウス公理函数に対して、正規化可能性条件 $|α| < \tfrac{1}{2}$ を厳格に導出する。
調和振動子への応用は、トライアル族が真の解を含むとき、セガル-バーグマン空間における基底状態の正確な回復を示す。
準調和振動子 ("\hat{H} = -\tfrac{1}{2}\partial_x^2 + \tfrac{1}{2}x^2 + λx^4$") に対して、位置空間の適応ガウスアンセッツェは立方体定常方程式と摂動エネルギー膨張を1次を超えて生成し、非調和波動関数を狭める。
対照的に、Segal--Bargmann 空間における単項試行関数 (n = z^n$) は、厳密な上界である$E_n = n + \tfrac{1}{2} + \tfrac{3λ}{4}(2n^2 + 2n + 1)$ を励起状態に対して提供するが、幅適応性に欠け、基底状態の計算において一階精度に制限される。
さらに、非対称ポテンシャル(例えば、$x^3 + x^4$)に対する非対称なガウスと変位単項式を解析し、パリティ破壊と安定化効果(E_0 \approx \tfrac{1}{2} + \tfrac{3μ}{4} - \tfrac{9λ^2}{4} + \cdots$)を捉えるのに、変位パラメータが不可欠であることを示した。
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