論文の概要: Wallis Products from the Four-Dimensional Singular Harmonic Oscillator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.00340v1
• Date: Wed, 01 Jul 2026 02:30:15 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-02 19:56:07.683608
• Title: Wallis Products from the Four-Dimensional Singular Harmonic Oscillator
• Title（参考訳）: 四次元特異高調波発振器のワリス生成物
• Abstract要約: ワリス積とその相反性は4次元特異振動子から導出される。 逆二乗相互作用は有効角パラメータ$$に吸収されるので、固定セクターの最小の正確なエネルギーは$E_4d,mathrmexact=hbar(+2)$である。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.8306597329663081
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: We present a variational derivation of the Wallis product and its reciprocal from the four-dimensional singular harmonic oscillator. The inverse-square interaction is absorbed into an effective angular parameter $ν$, so that the lowest exact energy in a fixed sector is $E_{4d,\mathrm{exact}}=\hbarω(ν+2)$. Motivated by the radial Kustaanheimo--Stiefel relation $r=ρ^2$ between the four-dimensional oscillator and the three-dimensional Coulomb problem, we use the quartic trial family $R_a(ρ)=Nρ^νe^{-aρ^4}$. The minimized variational energy yields an accuracy ratio governed by adjacent Gamma functions. In the large-$ν$ semiclassical limit, this ratio approaches unity. Restricting $ν$ to the odd sequence $ν=2n-1$ gives the standard Wallis product, whereas the even sequence $ν=2n$ gives its reciprocal form. The Coulomb-dual interpretation further relates the two branches to integer and half-integer effective angular sectors in the dual Coulomb/MICZ description. The result shows that Wallis-type infinite products persist under an inverse-square deformation of the oscillator and arise from a common Gamma-function structure in radial variational dynamics.
• Abstract（参考訳）: ワリス積とその相反性は4次元特異振動子から導出される。 逆二乗相互作用は有効角パラメータ$ν$に吸収されるので、固定セクターにおける最小の正確なエネルギーは$E_{4d,\mathrm{exact}}=\hbarω(ν+2)$である。 4次元振動子と3次元クーロン問題の間のラジアルクスタアンハイモ-スティエフェル関係$r=ρ^2$に動機付けられて、定性的試行群$R_a(ρ)=Nρ^νe^{-aρ^4}$を使用する。 最小の変動エネルギーは、隣接するガンマ関数によって支配される精度比をもたらす。 大きな$ν$半古典的極限において、この比はユニティに近づく。 奇数列 $ν=2n-1$ に $ν$ を制限することは標準的なワリス積を与えるが、偶数列 $ν=2n$ はその相互形式を与える。 クーロン双対解釈は、二重クーロン/MICZ記述における2つの分岐を整数および半整数有効角セクターにさらに関連付ける。 その結果、ワリス型無限生成物は振動子の逆二乗変形の下で持続し、放射変動力学における共通のガンマ関数構造から生じることを示した。

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