Fugu-MT 論文翻訳(概要): Quantum Realization of the Wallis Formula

論文の概要: Quantum Realization of the Wallis Formula

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2604.03662v1
Date: Sat, 04 Apr 2026 09:29:20 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-04-07 15:49:18.707004
Title: Quantum Realization of the Wallis Formula
Title（参考訳）: ウォリス公式の量子化
Abstract要約: 本稿では、2つの可溶性ラジアル系からウォリス公式の統一量子力学的導出を示す。 2つの系は同じモーメント公式の偶数および奇数半整数ガンマ関数分岐を実現する。大角運動系では、対応する状態は薄い球状殻や狭い環に局在する。
参考スコア（独自算出の注目度）: 1.8306597329663081
License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
Abstract: We present a unified quantum-mechanical derivation of the Wallis formula from two solvable radial systems: the circular states of the three-dimensional isotropic harmonic oscillator and the lowest-radial-branch states of the planar Fock--Darwin problem, including the lowest Landau level sector. In both cases, the radial probability density has the exact form $P(r)\propto r^νe^{-λr^2}$, which yields the scale-independent reciprocal observable $Q=\langle r\rangle\langle r^{-1}\rangle$. The two systems realize the even and odd half-integer Gamma-function branches of the same moment formula, so that the associated finite Wallis partial products are determined by $Q$ in one case and by $Q^{-1}$ in the other. In the large-angular-momentum regime, the corresponding states become localized on a thin spherical shell or a narrow annulus, with vanishing relative radial width, so that $Q\to1$ and both finite-product representations reduce to the Wallis formula for $π$.
Abstract（参考訳）: 本稿では, 3次元等方性振動子の円状状態と, ランダウレベルセクターを含む平面フォック-ダーウィン問題の最低半径分岐状態という, 2つの可解半径系からウォリス公式の統一量子力学式を導出する。どちらの場合も、ラジアル確率密度は$P(r)\propto r^νe^{-λr^2}$で、スケール非依存の逆観測可能$Q=\langle r\rangle r^{-1}\rangle$となる。 2つの系は同じモーメント公式の偶数および奇数半整数ガンマ函数の分岐を実現できるので、関連する有限ワリス部分積は1つの場合$Q$、もう1つの場合$Q^{-1}$で決定される。大角運動系では、対応する状態は、相対半径幅が消失する薄い球状殻または狭い環に局在するので、$Q\to1$と両方の有限積表現は、$π$のワリス公式に還元される。

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