論文の概要: Polynomial Initial-State Jumps and Christoffel Transforms in Krylov Complexity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.05294v1
• Date: Mon, 06 Jul 2026 16:37:39 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-07 22:26:30.24181
• Title: Polynomial Initial-State Jumps and Christoffel Transforms in Krylov Complexity
• Title（参考訳）: クリロフ錯体における多項式初期状態跳躍とクリストッフェル変換
• Abstract要約: 状態クリロフ(英: State Krylov)または拡散(英: spread)は、ハミルトニアン単独ではなくペア$(H,ketK)$の性質である。 個々の振幅に対して正確な有限和を導出し、累積確率と拡散複雑性のためにChristoffel-Darbouxカーネルを投影する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: State Krylov, or spread, complexity is a property of a pair $(H,\ket{K_0})$ rather than of the Hamiltonian alone. Thus, changing the initial state at fixed $H$ generally changes the Lanczos coefficients and the ordered Krylov basis. We solve this relative initial-state problem for normalized polynomial filters, $\ket{ψ_Q}=Q(H)\ket{K_0}/\sqrt{N_Q}$ with $N_Q=\langle K_0|Q(H)^\dagger Q(H)|K_0\rangle$. The filtered spectral measure is the positive polynomial modification $|Q(E)|^2\mathrm dμ(E)/N_Q$, and orthogonality turns this measure change into a finite-band transfer from reference Fourier-orthogonal-polynomial moments to shifted Krylov amplitudes. We derive exact finite sums for individual amplitudes and projected Christoffel-Darboux kernels for cumulative probabilities and spread complexity. The formulae cover confluent roots, complex seed coefficients, support loss, and terminal quotients in finite dimensions. We evaluate the construction in three canonical Jacobi families, the Heisenberg--Weyl/Charlier oscillator, the compact $SU(2)$/Krawtchouk spin, and the constant-coefficient tight-binding/Chebyshev chain, with a Hermite central-limit scaling of Charlier as a continuous-spectrum check of this Christoffel jump machinery. Finite seed families are organized by a matrix-valued parent measure whose scalar compressions recover the individual shifted problems. The fixed-inner-product construction carries over to operator Krylov complexity after the replacement \(H\mapsto\mathcal L\) and \(\ket{K_0}\mapsto O\); polynomial seeds then become nested-commutator descendants \(Q(\mathcal L)O\). The result is an exact relative calculus in which a solved cyclic problem generates a family of polynomially related initial-state dynamics without repeating Lanczos in the original Hilbert space.
• Abstract（参考訳）: 状態クリロフ(英: State Krylov)または拡散(英: spread)の複雑性は、ハミルトニアン単独ではなくペア$(H,\ket{K_0})$の性質である。 したがって、固定された$H$で初期状態を変更すると、一般にランツォ係数と順序付きクリロフ基底が変化する。 正規化多項式フィルタに対するこの相対的初期状態問題は、$N_Q=\langle K_0|Q(H)^\dagger Q(H)|K_0\rangle$で、$\ket{a_Q}=Q(H)\ket{K_0}/\sqrt{N_Q}$である。 フィルターされたスペクトル測度は、正の多項式修正 $|Q(E)|^2\mathrm dμ(E)/N_Q$ であり、直交性は、この測度を基準フーリエ-直交-ポリノミカルモーメントからシフトクリロフ振幅への有限バンド変換に変換する。 個々の振幅に対して正確な有限和を導出し、累積確率と拡散複雑性のためにChristoffel-Darbouxカーネルを投影する。 公式は、有限次元における収束根、複雑な種係数、支持損失、終商をカバーしている。 我々は、3つの標準ヤコビ族、ハイゼンベルク-ワイル/カリエ発振器、コンパクトな$SU(2)$/Krawtchoukスピン、および定数係数のタイトバインディング/チェビシェフ鎖の構成を評価し、このクリスッフェルジャンプ機械の連続スペクトルチェックとして、CharlierのHermite中心極限スケーリングを用いた。 有限種族は、スカラー圧縮が個々のシフトした問題を回復する行列値の親測度によって構成される。 固定整数積の構成は、作用素 Krylov の複雑性を \(H\mapsto\mathcal L\) と \(\ket{K_0}\mapsto O\) に置き換えた後に引き継ぐ。 その結果は、解決された巡回問題は、元のヒルベルト空間においてランツォスを繰り返すことなく多項式関連の初期状態ダイナミクスの族を生成する正確な相対計算である。

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