論文の概要: Quantum dynamics of the classical harmonic oscillator
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/1912.12334v3
- Date: Thu, 30 Jan 2020 02:18:02 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-09 22:56:49.084392
- Title: Quantum dynamics of the classical harmonic oscillator
- Title（参考訳）: 古典的高調波発振器の量子力学
- Authors: Dimitrios Giannakis
- Abstract要約: 古典的調和振動子の測度保存、エルゴード力学と2次元ミンコフスキー空間上の量子力学ゲージ理論との対応性を確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: A correspondence is established between measure-preserving, ergodic dynamics
of a classical harmonic oscillator and a quantum mechanical gauge theory on
two-dimensional Minkowski space. This correspondence is realized through an
isometric embedding of the $L^2(\mu)$ space on the circle associated with the
oscillator's invariant measure, $ \mu $, into a Hilbert space $\mathcal{H}$ of
sections of a $\mathbb{C}$-line bundle over Minkowski space. This bundle is
equipped with a covariant derivative induced from an SO$^+$(1,1) gauge field
(connection 1-form) on the corresponding inertial frame bundle, satisfying the
Yang-Mills equations. Under this embedding, the Hamiltonian operator of a
Lorentz-invariant quantum system, constructed as a natural Laplace-type
operator on bundle sections, pulls back to the generator of the unitary group
of Koopman operators governing the evolution of classical observables of the
harmonic oscillator, with Koopman eigenfunctions of zero, positive, and
negative eigenfrequency corresponding to quantum eigenstates of zero
("vacuum"), positive ("matter"), and negative ("antimatter") energy. The
embedding also induces a pair of operators acting on classical observables of
the harmonic oscillator, exhibiting canonical position-momentum commutation
relationships. These operators have the structure of order-$1/2$ fractional
derivatives, and therefore display a form of non-locality. In a second part of
this work, we study a quantum mechanical representation of the classical
harmonic oscillator using a one-parameter family of reproducing kernel Hilbert
algebras associated with the transition kernel of a fractional diffusion on the
circle, where a stronger notion of classical-quantum consistency is established
than in the $L^2(\mu)$ case.
- Abstract（参考訳）: 古典的調和振動子の測度保存、エルゴード力学と2次元ミンコフスキー空間上の量子力学ゲージ理論との対応性を確立する。
この対応は、振動子の不変測度である$ \mu $と関連する円上の$L^2(\mu)$空間を、ミンコフスキー空間上の$\mathbb{C}$-ラインバンドルの切断のヒルベルト空間$\mathcal{H}$に等距離埋め込みすることで実現される。
このバンドルは、対応する慣性フレームバンドル上のso$^+$(1,1)ゲージ場(接続 1-形式)から誘導される共変微分を備え、ヤン-ミルズ方程式を満たす。
この埋め込みの下で、バンドル区間上の自然なラプラス型作用素として構築されたローレンツ不変量子系のハミルトニアン作用素は、調和発振器の古典的観測可能性の進化を管理するクープマン作用素のユニタリ群の生成元に戻り、ゼロ(真空)、正(物質)、負(反物質)エネルギーの量子固有状態に対応するコープマン固有関数、正(正)、負(負)の固有周波数を持つ。
埋め込みはまた、調和振動子の古典的可観測性に作用する作用素のペアを誘導し、標準位置-運動量交換関係を示す。
これらの作用素は次数-1/2$分数微分の構造を持ち、したがって非局所性の形式を示す。
この研究の第2部では、円上の分数拡散の遷移核に付随する再生核ヒルベルト代数の1パラメータ族を用いて古典的調和振動子の量子力学的表現を研究し、古典的量子整合性の概念は$L^2(\mu)$の場合よりも強い。
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