論文の概要: Choi--Jamiołkowski-type isomorphisms for von Neumann algebras
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.13750v1
- Date: Thu, 13 Aug 2026 20:20:02 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-17 20:14:29.206921
- Title: Choi--Jamiołkowski-type isomorphisms for von Neumann algebras
- Title（参考訳）: フォン・ノイマン環に対するチェ・ヤミオヴコフスキー型同型
- Abstract要約: Choi--Jamiokowski同型は二部体状態を持つ完全正の写像を識別する。
任意のフォン・ノイマン代数に対して $mathcalM$ と $mathcalN$ に対して、正規完全有界写像の空間の間に正準位同型が存在することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5729426778193399
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: The Choi--Jamiołkowski isomorphism identifies completely positive maps with bipartite states and underlies much of finite-dimensional quantum information theory. For systems with infinitely many degrees of freedom, modelled by von Neumann algebras of type III, neither traces nor density matrices are available, and the isomorphism has to be reformulated. We show that for arbitrary von Neumann algebras $\mathcal{M}$ and $\mathcal{N}$ there is a canonical order isomorphism between the space of normal completely bounded maps from $\mathcal{M}$ into the predual of $\mathcal{N}$ and the predual of the spatial tensor product of $\mathcal{M}$ with the \emph{opposite} algebra of $\mathcal{N}$; under this identification complete positivity corresponds to positivity. Replacing the opposite algebra by $\mathcal{N}$ itself requires an anti-isomorphism of $\mathcal{N}$ with itself, and we prove that this condition is not only sufficient but also necessary, provided the identification is required to be natural in $\mathcal{M}$. Some such requirement is unavoidable, since for every $\mathcal{M}$ anti-isomorphic to itself an isomorphism exists for trivial reasons. Consequently no Choi--Jamiołkowski correspondence exists for the type III factors constructed by Connes. Along the way we show that the space of all normal maps, taken with the operator norm, is strictly too large for this purpose, and that complete positivity does not force complete boundedness in this setting.
- Abstract（参考訳）: Choi--Jamiołkowski同型はバイパルタイト状態を持つ完全正の写像を同定し、有限次元量子情報理論の基盤となる。
III 型のフォン・ノイマン代数によってモデル化された無限に多くの自由度を持つ系では、トレースも密度行列も得られず、同型は再定式化されなければならない。
任意のフォンノイマン代数に対して、$\mathcal{M}$ および $\mathcal{N}$ に対して、$\mathcal{M}$ から $\mathcal{N}$ への正規完全有界写像の空間と $\mathcal{M}$ の空間テンソル積と $\mathcal{N}$ の \emph{opposite} 代数との正準位同型が存在することを示す。
逆代数を $\mathcal{N}$ 自身で置き換えるには $\mathcal{N}$ の反同型が必要である。
なぜなら、すべての$\mathcal{M}=反同型がそれ自身に同型であることは自明な理由から存在するからである。
したがって、コンヌによって構築されたIII型因子についてはチェ=ヤミオウコフスキ対応は存在しない。
その過程で、作用素ノルムで取られたすべての正規写像の空間は、この目的のために厳密に大きすぎることを示し、完全な肯定性は、この設定において完全有界性を強制しない。
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