論文の概要: Arbitrary-Order Hermite Interpolation of Rigid-Motion Jets via Hyper-Multidual Quaternions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.27000v1
- Date: Thu, 27 Aug 2026 11:46:29 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-28 16:30:58.375808
- Title: Arbitrary-Order Hermite Interpolation of Rigid-Motion Jets via Hyper-Multidual Quaternions
- Title（参考訳）: 超多重四元数による剛体運動噴流の任意次ヘルミット補間
- Abstract要約: 単位二元四元数で表される有限次剛体運動噴流の両側について検討する。
位数-$n$多元環は truncated $mathbbR[varepsilon]/(varepsilonn+1) であり、超多重(HMD)四元数はこの代数の係数を持つ双対四元数である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study bilateral interpolation of finite-order rigid-motion jets represented by unit dual quaternions. An order-$n$ multidual (MD) algebra is the truncated polynomial algebra $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^{n+1})$; hyper-multidual (HMD) quaternions are dual quaternions with coefficients in this algebra. Temporal HMD transforms encode a pose and its derivatives, whereas a generic HMD curve need not be the temporal jet of its pose projection; we call this requirement holonomicity. We show that a temporal transform and its relative descriptor are unitary and derive recursive coefficient constraints, together with a local realizability converse in an admissible logarithm chart. We then extend screw linear interpolation (ScLERP) algebraically to unit HMD quaternions. Although it matches complete endpoint transforms, direct HMD--ScLERP is generically non-holonomic for arbitrary endpoint jets. We give a coefficient criterion and explicit endpoint and first-order interior contact defects. A holonomic alternative is obtained by mapping endpoint transforms to logarithmic dual-quaternion coordinates, applying the degree-$(2n+1)$ Hermite polynomial that matches derivatives through order $n$, and lifting by the exponential. HMD arithmetic also recovers higher-order rigid-motion acceleration fields without explicit differentiation of $\mathrm{dexp}$. Rotation and full $\mathrm{SE}(3)$ tests through second order, with an additional third-order polynomial check, reproduce the stated defects and endpoint jets.
- Abstract（参考訳）: 単位二元四元数で表される有限次剛体運動噴流の両側補間について検討する。
次数-$n$多元環 (MD) は truncated polynomial algebra $\mathbb{R}[\varepsilon]/(\varepsilon^{n+1})$; 超多元環 (HMD) 四元数はこの代数の係数を持つ双対四元数である。
時間的HMD変換はポーズとその微分を符号化するが、一般的なHMD曲線はそのポーズ射影の時空ジェットである必要はない。
時間変換とその相対記述子はユニタリであり、帰納的係数制約を導出し、局所的な実現可能性の逆を許容対数チャートで表す。
次に、スクリュー線形補間(ScLERP)を代数的にHMD四元数に拡張する。
完全な終点変換と一致するが、直接HMD--ScLERPは任意の終点ジェットに対して一般的に非ホロノミックである。
我々は、係数基準、明示的な終点、一階内接点欠陥を与える。
ホロノミックな代替品は、終点変換を対数的双対四元数座標にマッピングし、次数$n$で微分に一致する次数$(2n+1)$ Hermite多項式を適用し、指数関数によって持ち上げることによって得られる。
HMD算術はまた、$\mathrm{dexp}$の明示的な微分なしで高次の剛体運動加速度場を復元する。
回転と完全$\mathrm{SE}(3)$テストは二階数で行われ、3階多項式チェックが追加され、記述された欠陥と終点ジェットを再現する。
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