論文の概要: Enforcing Dirichlet Boundary Conditions in Operator Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.27256v1
• Date: Thu, 27 Aug 2026 15:40:29 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-28 16:30:58.473012
• Title: Enforcing Dirichlet Boundary Conditions in Operator Learning
• Title（参考訳）: 演算子学習におけるディリクレ境界条件の強制
• Abstract要約: 等質ディリクレ境界条件を満たすアーキテクチャを提案する。 結果のアーキテクチャに対する普遍的な近似を証明します。 また、カーネル積分型ニューラル作用素の幅広いクラスについても証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.6615337656760854
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Operator learning in scientific machine learning is concerned with approximation of maps between infinite-dimensional function spaces; such maps frequently arise as the solution operators of partial differential equations (PDEs). Neural operators have demonstrated broad empirical success at approximating such maps from data. However, most existing neural operator architectures enforce boundary conditions indirectly through training from data even though the boundary condition is often known exactly. Furthermore, existing modifications and approaches that do enforce boundary conditions explicitly suffer from impractical restrictions, including boundary smoothness, uniform grids, and separable, box-like domains. In this work, we propose an architecture which, independently of training, satisfies homogeneous Dirichlet boundary conditions, whilst simultaneously retaining the expressivity of existing kernel-integral neural operator architectures. This is achieved by enforcing the property that the output of each layer is contained in the span of a subset of the homogeneous Dirichlet eigenfunctions of the Laplacian on the output domain. The method requires only that the output domain be bounded with Lipschitz boundary and places no restriction on the choice of discretization, making it applicable to arbitrary mesh data and general geometries. We prove universal approximation for the resulting architecture; furthermore the approach we adopt in the analysis proves universality for a broad class of kernel-integral neural operators thereby uniting existing theory for a variety of operator learning methods. We validate the proposed method on maps defined by the coefficient to solution map in 2D PDEs: Darcy flow on a square domain and the Helmholtz equation on a circular domain. Comparisons are made with alternative methods.
• Abstract（参考訳）: 科学機械学習における演算子学習は無限次元函数空間間の写像の近似に関係しており、そのような写像はしばしば偏微分方程式(PDE)の解作用素として生じる。 ニューラル作用素は、データからそのようなマップを近似する実験的な成功を示してきた。 しかしながら、既存のほとんどのニューラルネットワークアーキテクチャは、境界条件が正確に知られているにもかかわらず、データからのトレーニングを通じて間接的に境界条件を強制する。 さらに、境界条件を強制する既存の修正やアプローチは、境界の滑らかさ、一様格子、分離可能なボックスのような領域など、明らかに非現実的な制約に悩まされている。 本研究では,既存のカーネル積分型ニューラルネットワークアーキテクチャの表現性を同時に維持しつつ,トレーニングとは別に同種ディリクレ境界条件を満たすアーキテクチャを提案する。 これは、各層の出力が出力領域上のラプラシアンの同次ディリクレ固有関数の部分集合のスパンに含まれるという性質を強制することによって達成される。 この方法は出力領域をリプシッツ境界に束縛することのみを必要とし、離散化の選択に制限を課さず、任意のメッシュデータや一般測地に適用できる。 さらに、解析で採用したアプローチは、幅広い種類のカーネル積分型ニューラル演算子に対して普遍性を証明し、様々な演算子学習法に対する既存の理論を統一する。 2次元PDEにおける係数と解写像で定義される写像について提案手法を検証した:正方形領域上のダーシーフローと円形領域上のヘルムホルツ方程式である。 比較は代替手法で行う。

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