論文の概要: Controlled Mather-Thurston theorems

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.00374v6
• Date: Wed, 21 Jun 2023 21:02:03 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-06-23 18:30:33.565510
• Title: Controlled Mather-Thurston theorems
• Title（参考訳）: 制御されたmather-thurston定理
• Authors: Michael Freedman
• Abstract要約: その動機は、物理プログラムに数学的基礎を置くことである。 目的は、マクスウェルの$Fwedge Fast$やヒルベルトの$int R dvol$のような曲率項が「歪み」を測る作用に置き換えられる双対性を見つけることである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Classical results of Milnor, Wood, Mather, and Thurston produce flat connections in surprising places. The Milnor-Wood inequality is for circle bundles over surfaces, whereas the Mather-Thurston Theorem is about cobording general manifold bundles to ones admitting a flat connection. The surprise comes from the close encounter with obstructions from Chern-Weyl theory and other smooth obstructions such as the Bott classes and the Godbillion-Vey invariant. Contradiction is avoided because the structure groups for the positive results are larger than required for the obstructions, e.g. $\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$ versus $\operatorname{U}(1)$ in the former case and $C^1$ versus $C^2$ in the latter. This paper adds two types of control strengthening the positive results: In many cases we are able to (1) refine the Mather-Thurston cobordism to a semi-$s$-cobordism (ssc) and (2) provide detail about how, and to what extent, transition functions must wander from an initial, small, structure group into a larger one. The motivation is to lay mathematical foundations for a physical program. The philosophy is that living in the IR we cannot expect to know, for a given bundle, if it has curvature or is flat, because we can't resolve the fine scale topology which may be present in the base, introduced by a ssc, nor minute symmetry violating distortions of the fiber. Small scale, UV, "distortions" of the base topology and structure group allow flat connections to simulate curvature at larger scales. The goal is to find a duality under which curvature terms, such as Maxwell's $F \wedge F^\ast$ and Hilbert's $\int R\ dvol$ are replaced by an action which measures such "distortions." In this view, curvature results from renormalizing a discrete, group theoretic, structure.
• Abstract（参考訳）: ミルナー、ウッド、マザー、サーストンの古典的な結果は驚くべき場所で平坦なつながりを生み出している。 Milnor-Woodの不等式は曲面上の円束に対して、Mather-Thurston Theorem は一般多様体束を平坦な接続を許容するものに共役するものである。 この予想は、チャーン=ワイル理論やボット類やゴッドビリオン・ヴェイ不変量のような他の滑らかな障害との密接な出会いから来ている。 前者は$\operatorname{PSL}(2,\mathbb{R})$対$\operatorname{U}(1)$、後者は$C^1$対$C^2$である。 本報告では,(1) 半$s$-cobordism (ssc) でmather-thurstonコボルディズムを洗練できる場合が多く,(2) 初期構造群から大規模構造群への遷移関数の移動がどの程度必要か,さらにどの程度詳細に述べる。 その動機は、物理プログラムに数学的基礎を置くことである。 哲学は、あるバンドルに対して、それが曲率を持つか、平坦であるかどうかは、ベースに存在するかもしれない微細なトポロジーを解決できないため、sscや微小対称性が繊維の歪みに反するので、我々が期待することができないというものである。 小さいスケール、紫外線、基本トポロジーと構造群の「歪み」により、フラット接続はより大きなスケールで曲率をシミュレートできる。 目標は、マクスウェルの$f \wedge f^\ast$やヒルベルトの$\int r\ dvol$のような曲率項がそのような「歪曲」を測定する作用に置き換えられるような双対性を見つけることである。 この見方では、曲率は離散的、群論的な構造を再正規化する結果となる。

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