論文の概要: Continuous Time Quantum Walks on Graphs: Group State Transfer
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.08837v1
- Date: Tue, 16 Mar 2021 03:56:54 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-07 23:50:57.380069
- Title: Continuous Time Quantum Walks on Graphs: Group State Transfer
- Title（参考訳）: グラフ上の連続時間量子ウォーク:グループ状態転送
- Authors: Luke C. Brown, William J. Martin, Duncan Wright
- Abstract要約: グラフ上の群状態移動の概念を導入し、量子ウォーク理論における他の概念との関係を要約し、基本理論を定め、例を議論する。
S,Tsubseteq V(X)$ では、$X$ は $S$ から $T$ への "group state transfer" を認めます。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce the concept of group state transfer on graphs, summarize its
relationship to other concepts in the theory of quantum walks, set up a basic
theory, and discuss examples.
Let $X$ be a graph with adjacency matrix $A$ and consider quantum walks on
the vertex set $V(X)$ governed by the continuous time-dependent unitary
transition operator $U(t)= \exp(itA)$. For $S,T\subseteq V(X)$, we says $X$
admits "group state transfer" from $S$ to $T$ at time $\tau$ if the submatrix
of $U(\tau)$ obtained by restricting to columns in $S$ and rows not in $T$ is
the all-zero matrix. As a generalization of perfect state transfer, fractional
revival and periodicity, group state transfer satisfies natural monotonicity
and transitivity properties. Yet non-trivial group state transfer is still
rare; using a compactness argument, we prove that bijective group state
transfer (the optimal case where $|S|=|T|$) is absent for almost all $t$.
Focusing on this bijective case, we obtain a structure theorem, prove that
bijective group state transfer is "monogamous", and study the relationship
between the projections of $S$ and $T$ into each eigenspace of the graph.
Group state transfer is obviously preserved by graph automorphisms and this
gives us information about the relationship between the setwise stabilizer of
$S\subseteq V(X)$ and the stabilizers of naturally defined subsets obtained by
spreading $S$ out over time and crudely reversing this process. These
operations are sufficiently well-behaved to give us a topology on $V(X)$ which
is likely to be simply the topology of subsets for which bijective group state
transfer occurs at that time. We illustrate non-trivial group state transfer in
bipartite graphs with integer eigenvalues, in joins of graphs, and in symmetric
double stars. The Cartesian product allows us to build new examples from old
ones.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,グラフ上の群状態移動の概念を紹介し,量子ウォーク理論における他の概念との関係を要約し,基本理論を定式化し,例を議論する。
x$ を隣接行列 $a$ のグラフとし、連続時間依存ユニタリ遷移作用素 $u(t)= \exp(ita)$ によって支配される頂点集合 $v(x)$ 上の量子ウォークを考える。
s,t\subseteq v(x)$ に対して、$x$ は $s$ から $t$ までの "グループ状態転送" を許容すると言い、$u(\tau)$ のサブ行列が $s$ でカラムに制限され、$t$ でない行が全ゼロ行列であるなら$\tau$ とする。
完全状態転移、分数再生、周期性の一般化として、群状態転移は自然単調性および推移性を満たす。
しかし、非自明な群状態転移は依然として稀であり、コンパクト性引数を用いて、ほぼすべての$t$に対して単射群状態転移($|S|=|T|$)が存在しないことが証明される。
この単射の場合に焦点を当てて、構造定理を求め、単射群状態遷移が「単元的」であることを証明し、グラフの各固有空間への$s$と$t$の関係を研究する。
これは、$s\subseteq v(x)$ のセットワイズ安定化子と、$s$ を時間をかけて拡散して得られた自然に定義された部分集合の安定化子との関係と、このプロセスを大まかに反転させる情報を与える。
これらの演算は十分にうまく行なっており、$V(X)$ 上の位相を与えることができ、これは単にその時に単射群状態移動が起こる部分集合の位相である可能性が高い。
整数固有値を持つ二部グラフ、グラフの結合、対称二重星における非自明な群状態遷移を示す。
Cartesian製品は、古いものから新しい例を作ることができます。
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