論文の概要: Universality of swap for qudits: a representation theory approach
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2103.12303v1
- Date: Tue, 23 Mar 2021 04:42:49 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-07 02:24:10.295435
- Title: Universality of swap for qudits: a representation theory approach
- Title（参考訳）: quditsにおけるスワップの普遍性:表現論的アプローチ
- Authors: James R. van Meter
- Abstract要約: 量子情報理論のオープンな問題は、$d>2$に対して$d$状態系に符号化された量子ビットに対して、普遍交換のみの計算がどのような条件で可能であるかを決定することである。
まず、キューディットの積上の特殊ユニタリ代数から転置によって生成されるリー代数の表現への写像という観点から、交換のみの普遍性の数学的定義を与える。
次に、交換のみの普遍性を認める符号化クイディットの族であるクイディットの普遍的な族を特徴づけるタスクを進める。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: An open problem of quantum information theory has been to determine under
what conditions universal exchange-only computation is possible for qudits
encoded on $d$-state systems for $d>2$. This problem can be posed in terms of
representation theory by recognizing that each quantum mechanical swap,
generated by exchange-interaction, can be identified with a transposition in a
symmetric group, each $d$-state system can be identified with the fundamental
representation of $SU(d)$, and each encoded qudit can be identified with an
irreducible representation of a Lie algebra generated by transpositions.
Towards this end we first give a mathematical definition of exchange-only
universality in terms of a map from the special unitary algebra on the product
of qudits into a representation of a Lie algebra generated by transpositions.
We show that this definition is consistent with quantum computing requirements.
We then proceed with the task of characterizing universal families of qudits,
that is families of encoded qudits admitting exchange-only universality. This
endeavor is aided by the fact that the irreducible representations
corresponding to qudits are canonically labeled by partitions. In particular we
derive necessary and sufficient conditions for universality on one or two such
qudits, in terms of simple arithmetic conditions on the associated partitions.
We also derive necessary and sufficient conditions for universality on
arbitrarily many such qudits, in terms of Littlewood--Richardson coefficients.
Among other results, we prove that universal families of multiple qudits are
upward closed, that universality is guaranteed for sufficiently many qudits,
and that any family that is not universal can be made so by simply adding at
most five ancillae. We also obtain results for 2-state systems as a special
case.
- Abstract（参考訳）: 量子情報理論のオープンな問題は、$d$-state システムで$d>2$ で符号化された qudits に対して、ユニバーサル交換のみの計算が可能かどうかという条件の下で決定することであった。
この問題は、交換-相互作用によって生成されるそれぞれの量子力学的スワップが対称群の転置と同一視でき、各$d$状態系は$SU(d)$の基本的な表現と同一視でき、各符号化されたquditは転置によって生成されるリー代数の既約表現と同一視できるので、表現論の観点で表すことができる。
この目的に向かって、我々はまず交換のみ普遍性の数学的定義を、クウディッツの積上の特殊ユニタリ代数から転置によって生成されるリー代数の表現への写像の項で与える。
この定義は量子コンピューティングの要件と一致していることを示す。
次に、交換のみの普遍性を認める符号化クイディットの族であるクイディットの普遍的な族を特徴づけるタスクを進める。
この試みは、クォーディットに対応する既約表現が分割によって列挙されるという事実に助けられている。
特に、関連する分割上の単純な算術条件の観点から、1つまたは2つのqudit上の普遍性に必要な十分条件を導出する。
我々はまた、リトルウッド-リチャードソン係数の観点で、任意の数のquditに対する普遍性に必要な十分条件を導出する。
以上の結果から,複数のクディット族の普遍族は上向きに閉ざされ,普遍性は十分多くのクディットに対して保証され,普遍性を持たない任意の族は,少なくとも5つのアンシラエを加えるだけで得られることが証明された。
また, 特別事例として2状態系の結果も得られた。
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