論文の概要: Quantum Optimal Transport
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2105.06922v2
- Date: Tue, 12 Jul 2022 16:53:36 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-31 04:11:36.840717
- Title: Quantum Optimal Transport
- Title（参考訳）: 量子最適輸送
- Authors: Sam Cole, Micha{\l} Eckstein, Shmuel Friedland, Karol \.Zyczkowski
- Abstract要約: 我々はMonge-Kantorovich最適輸送問題の量子バージョンを解析する。
量子輸送は従来のものよりも安価であることを示す。
また、一般的な$d$-partite系の量子最適輸送についても論じる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We analyze a quantum version of the Monge--Kantorovich optimal transport
problem. The quantum transport cost related to a Hermitian cost matrix $C$ is
minimized over the set of all bipartite coupling states $\rho^{AB}$ with fixed
reduced density matrices $\rho^A$ and $\rho^B$ of size $m$ and $n$. The minimum
quantum optimal transport cost $\rT^Q_{C}(\rho^A,\rho^B)$ can be efficiently
computed using semidefinite programming. In the case $m=n$ the cost $\rT^Q_{C}$
gives a semidistance if and only if $C$ is positive semidefinite and vanishes
exactly on the subspace of symmetric matrices. Furthermore, if $C$ satisfies
the above conditions, then $\sqrt{\rT^Q_{C}}$ induces a quantum analogue of the
Wasserstein-2 distance. Taking the quantum cost matrix $C^Q$ to be the
projector on the antisymmetric subspace, we provide a semi-analytic expression
for $\rT^Q_{C^Q}$ for any pair of single-qubit states and show that its square
root yields a transport distance on the Bloch ball. Numerical simulations
suggest that this property holds also in higher dimensions. Assuming that the
cost matrix suffers decoherence and that the density matrices become diagonal,
we study the quantum-to-classical transition of the Earth mover's distance,
propose a continuous family of interpolating distances, and demonstrate that
the quantum transport is cheaper than the classical one. Furthermore, we
introduce a related quantity -- the SWAP-fidelity -- and compare its properties
with the standard Uhlmann--Jozsa fidelity. We also discuss the quantum optimal
transport for general $d$-partite systems.
- Abstract（参考訳）: 我々はMonge-Kantorovich最適輸送問題の量子バージョンを分析する。
エルミートコスト行列 $C$ に関連する量子輸送コストは、固定化された密度行列 $\rho^A$ と $\rho^B$ の大きさ $m$ と $n$ の2部結合状態の集合に対して最小化される。
最小量子輸送コスト$\rT^Q_{C}(\rho^A,\rho^B)$は半定値プログラミングを用いて効率的に計算できる。
m=n$ の場合、コスト $\rT^Q_{C}$ が半距離を与えるのは、$C$ が正半定値であり、対称行列の部分空間上でちょうど消えるときである。
さらに、c$ が上記の条件を満たすなら、$\sqrt{\rt^q_{c}}$ はワッサースタイン-2距離の量子アナログを誘導する。
量子コスト行列 $C^Q$ を反対称部分空間上の射影子とすると、任意の一量子状態に対して$\rT^Q_{C^Q}$ に対する半解析式を提供し、その平方根がブロッホ球上の輸送距離をもたらすことを示す。
数値シミュレーションにより、この性質はより高次元でも成り立つことが示されている。
コスト行列がデコヒーレンスに悩まされ、密度行列が対角線となると仮定して、地球移動子の距離の量子-古典的遷移を研究し、補間距離の連続的な族を提案し、量子輸送が古典的行列よりも安いことを示す。
さらに、関連する量 -- スワップ忠実度 -- を導入し、その特性を標準のuhlmann-jozsa忠実度と比較する。
また、一般の$d$-partiteシステムに対する量子最適輸送についても論じる。
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