論文の概要: Multiwavelet-based Operator Learning for Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.13459v1
• Date: Tue, 28 Sep 2021 03:21:47 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-09-30 01:08:48.820269
• Title: Multiwavelet-based Operator Learning for Differential Equations
• Title（参考訳）: 微分方程式に対するマルチウェーブレットに基づく演算子学習
• Authors: Gaurav Gupta, Xiongye Xiao, Paul Bogdan
• Abstract要約: 本稿では,関連する演算子のカーネルを圧縮する,テキストマルチウェーブレットに基づくニューラル演算子学習方式を提案する。 逆マルチウェーブレットフィルタを明示的に埋め込み、固定されたマルチウェーブレットベースへのカーネルのプロジェクションを学習する。 既存のニューラル演算子アプローチと比較して、我々のモデルは、さまざまなデータセットにおいて、かなり精度が高く、最先端であることを示している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.0824316066680484
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The solution of a partial differential equation can be obtained by computing the inverse operator map between the input and the solution space. Towards this end, we introduce a \textit{multiwavelet-based neural operator learning scheme} that compresses the associated operator's kernel using fine-grained wavelets. By explicitly embedding the inverse multiwavelet filters, we learn the projection of the kernel onto fixed multiwavelet polynomial bases. The projected kernel is trained at multiple scales derived from using repeated computation of multiwavelet transform. This allows learning the complex dependencies at various scales and results in a resolution-independent scheme. Compare to the prior works, we exploit the fundamental properties of the operator's kernel which enable numerically efficient representation. We perform experiments on the Korteweg-de Vries (KdV) equation, Burgers' equation, Darcy Flow, and Navier-Stokes equation. Compared with the existing neural operator approaches, our model shows significantly higher accuracy and achieves state-of-the-art in a range of datasets. For the time-varying equations, the proposed method exhibits a ($2X-10X$) improvement ($0.0018$ ($0.0033$) relative $L2$ error for Burgers' (KdV) equation). By learning the mappings between function spaces, the proposed method has the ability to find the solution of a high-resolution input after learning from lower-resolution data.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式の解は、入力と解空間の間の逆作用素写像を計算することによって得られる。 この目的に向けて,きめ細かいウェーブレットを用いて関連する演算子のカーネルを圧縮する \textit{multiwavelet-based neural operator learning scheme} を導入する。 逆マルチウェーブレットフィルタを明示的に埋め込み、固定されたマルチウェーブレット多項式基底へのカーネルの投影を学習する。 投影されたカーネルはマルチウェーブレット変換の繰り返し計算を用いて複数のスケールで訓練される。 これにより、様々なスケールで複雑な依存関係を学習し、解決に依存しないスキームが得られる。 先行研究と比較して,数値的に効率的な表現を可能にする演算子のカーネルの基本特性を利用する。 我々はKdV方程式、Burgers方程式、Darcy Flow、Navier-Stokes方程式について実験を行う。 既存のニューラルオペレータのアプローチと比較すると,このモデルは精度が著しく向上し,様々なデータセットにおいて最先端を実現する。 時変方程式に対しては、提案手法は2x-10x$ (0.0018$ (0.0033$) のバーガーズ方程式 (kdv) に対して相対的に l2$ の誤差を示す。 関数空間間のマッピングを学習することにより,低分解能データから学習した後,高分解能入力の解を求めることができる。

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