論文の概要: A physicist's guide to the solution of Kummer's equation and confluent hypergeometric functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.04852v3
• Date: Wed, 12 Oct 2022 12:12:24 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-03-08 20:06:27.047524
• Title: A physicist's guide to the solution of Kummer's equation and confluent hypergeometric functions
• Title（参考訳）: クマー方程式と合流超幾何関数の解法に関する物理学者のガイド
• Authors: W. N. Mathews Jr., M. A. Esrick, Z. Y. Teoh, J. K. Freericks
• Abstract要約: 収束超幾何方程式は物理学、化学、工学において最も重要な微分方程式の1つである。 その2つのパワー級数解はクマー函数 M(a,b,z) であり、しばしば第一種の収束超幾何函数と呼ばれる。 第3の関数であるトリコム函数 U(a,b,z) は、常用される収束超幾何方程式の解でもある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The confluent hypergeometric equation, also known as Kummer's equation, is one of the most important differential equations in physics, chemistry, and engineering. Its two power series solutions are the Kummer function, M(a,b,z), often referred to as the confluent hypergeometric function of the first kind, and z^{1-b}M(1+a-b,2-b,z), where a and b are parameters that appear in the differential equation. A third function, the Tricomi function, U(a,b,z), sometimes referred to as the confluent hypergeometric function of the second kind, is also a solution of the confluent hypergeometric equation that is routinely used. All three of these functions must be considered in a search for two linearly independent solutions of the confluent hypergeometric equation. There are situations, when a, b, and a - b are integers, where one of these functions is not defined, or two of the functions are not linearly independent, or one of the linearly independent solutions of the differential equation is different from these three functions. Many of these special cases correspond precisely to cases needed to solve physics problems. This leads to significant confusion about how to work with confluent hypergeometric equations, in spite of authoritative references such as the NIST Digital Library of Mathematical Functions. Here, we carefully describe all of the different cases one has to consider and what the explicit formulas are for the two linearly independent solutions of the confluent hypergeometric equation. Our results are summarized in Table I in Section 3. As an example, we use these solutions to study the bound states of the hydrogenic atom, going beyond the standard treatment in textbooks. We also briefly consider the cutoff Coulomb potential. We hope that this guide will aid physics instruction that involves the confluent hypergeometric differential equation.
• Abstract（参考訳）: コンフルエント超幾何学方程式(confluent hypergeometric equation, kummer's equation)は、物理学、化学、工学において最も重要な微分方程式の一つである。 その2つの級数解は、クマー函数 m(a,b,z) であり、しばしば第一種の合流超幾何函数(confluent hypergeometric function of the first kind)、z^{1-b}m(1+a-b,2-b,z) と呼ばれる。 第3の関数であるトリコミー函数 u(a,b,z) は、しばしば第2種の合流超幾何関数と呼ばれ、日常的に用いられる合流超幾何方程式の解でもある。 これら3つの関数はすべて、合流超幾何方程式の2つの線型独立解の探索において考慮されなければならない。 a, b, a - b が整数である場合、これらの関数の一方が定義されていない場合、あるいは2つの函数が線型独立でない場合、あるいは微分方程式の線型独立解の1つがこれら3つの函数とは異なる場合がある。 これらの特別なケースの多くは、物理学の問題を解決するために必要なケースと正確に一致する。 これは、NIST Digital Library of Mathematical Functions(英語版)のような権威的な参照にもかかわらず、収束超幾何方程式を扱う方法に関して大きな混乱をもたらす。 ここでは、考慮すべき異なるケースの全てと、収束超幾何方程式の2つの線型独立解に対する明示的な公式について、慎重に記述する。 結果は第3節第1表にまとめられている。 例えば、これらの解を用いて水素原子の境界状態の研究を行い、教科書の標準的な処理を超えている。 また,カットオフクーロンポテンシャルについても簡単に考察する。 このガイドは、confluent hypergeometric differential equationを含む物理学の指導に役立つことを期待している。

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