論文の概要: Geometrical interpretation of the argument of weak values of general
observables in N-level quantum systems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2202.11145v1
- Date: Tue, 22 Feb 2022 19:40:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-02-24 05:42:53.610633
- Title: Geometrical interpretation of the argument of weak values of general
observables in N-level quantum systems
- Title（参考訳）: nレベル量子系における一般観測可能性の弱値論の幾何学的解釈
- Authors: Lorena Ballesteros Ferraz, Dominique L. Lambert and Yves Caudano
- Abstract要約: N$次元量子系における一般エルミート観測値の弱値の議論の幾何学的解釈を示す。
一般可観測物の弱値の議論は、有効バーグマン不変量の議論と等価であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Observations in quantum weak measurements are determined by complex numbers
called weak values. We present a geometrical interpretation of the argument of
weak values of general Hermitian observables in $N$-dimensional quantum systems
in terms of geometric phases. We formulate an arbitrary weak value in function
of three real vectors on the unit sphere in $N^2-1$ dimensions, $S^{N^2-2}$.
These vectors are linked to the initial and final states, and to the weakly
measured observable, respectively. We express pure states in the complex
projective space of $N-1$ dimensions, $\mathbb{C}\textrm{P}^{N-1}$, which has a
non-trivial representation as a $2N-2$ dimensional submanifold of $S^{N^2-2}$
(a generalization of the Bloch sphere for qudits). The argument of the weak
value of a projector on a pure state of an $N$-level quantum system describes a
geometric phase associated to the symplectic area of the geodesic triangle
spanned by the vectors representing the pre-selected state, the projector and
the post-selected state in $\mathbb{C}\textrm{P}^{N-1}$. We then proceed to
show that the argument of the weak value of a general observable is equivalent
to the argument of an effective Bargmann invariant. Hence, we extend the
geometrical interpretation of projector weak values to weak values of general
observables. In particular, we consider the generators of SU($N$) given by the
generalized Gell-Mann matrices. Finally, we study in detail the case of the
argument of weak values of general observables in two-level systems and we
illustrate weak measurements in larger dimensional systems by considering
projectors on degenerate subspaces, as well as Hermitian quantum gates.
- Abstract（参考訳）: 量子弱測定における観測は弱値と呼ばれる複素数によって決定される。
我々は、n$-次元量子系における一般エルミート可観測値の弱い値の議論を幾何学的位相の観点から幾何学的に解釈する。
単位球面上の3つの実ベクトルの函数における任意の弱値を、$N^2-1$ dimensions, $S^{N^2-2}$で定式化する。
これらのベクトルは、初期状態と最終状態、および弱測定可観測値にそれぞれリンクされる。
我々は、$N-1$次元の複素射影空間において、$\mathbb{C}\textrm{P}^{N-1}$の純粋状態を表現する。
N$レベルの量子系の純粋状態におけるプロジェクターの弱い値の議論は、事前選択された状態を表すベクトル、プロジェクターおよびポスト選択された状態を表すベクトルによって広がる測地三角形のシンプレクティック領域に関連する幾何学的位相を$\mathbb{C}\textrm{P}^{N-1}$で記述する。
次に、一般可観測性の弱い値の引数は、有効なバーグマン不変量の引数と等価であることを示す。
したがって、プロジェクターの弱い値の幾何学的解釈を一般観測値の弱い値にまで拡張する。
特に、一般化されたゲルマン行列によって与えられる SU($N$) の生成元を考える。
最後に, 2-レベル系における一般可観測性の弱値の議論を詳細に検討し, 退化部分空間上の射影やエルミート量子ゲートについて検討することで, より大きな次元系における弱測定を示す。
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