論文の概要: Staying the course: Locating equilibria of dynamical systems on
Riemannian manifolds defined by point-clouds
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2204.10413v1
- Date: Thu, 21 Apr 2022 21:26:11 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-04-25 14:42:22.455688
- Title: Staying the course: Locating equilibria of dynamical systems on
Riemannian manifolds defined by point-clouds
- Title（参考訳）: コースの定常:点-雲で定義されるリーマン多様体上の力学系の位置平衡
- Authors: Juan M. Bello-Rivas, Anastasia Georgiou, John Guckenheimer, Ioannis G.
Kevrekidis
- Abstract要約: 本稿では,力学系の平衡(定常状態)を逐次同定する手法を提案する。
この方法は、ベクトル場$X$の方向が定数となる曲線である等傾線に従う。
繰り返しサンプリングされたデータとアイソクラインを使って、これらのサドルポイントを見つけます。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a method to successively locate equilibria (steady states) of
dynamical systems on Riemannian manifolds. The manifolds need not be
characterized by an atlas or by the zeros of a smooth map. Instead, they can be
defined by point-clouds and sampled as needed through an iterative process. If
the manifold is an Euclidean space, our method follows isoclines, curves along
which the direction of the vector field $X$ is constant. For a generic vector
field $X$, isoclines are smooth curves and every equilibrium is a limit point
of isoclines. We generalize the definition of isoclines to Riemannian manifolds
through the use of parallel transport: generalized isoclines are curves along
which the directions of $X$ are parallel transports of each other. As in the
Euclidean case, generalized isoclines of generic vector fields $X$ are smooth
curves that connect equilibria of $X$.
Our work is motivated by computational statistical mechanics, specifically
high dimensional (stochastic) differential equations that model the dynamics of
molecular systems. Often, these dynamics concentrate near low-dimensional
manifolds and have transitions (sadddle points with a single unstable
direction) between metastable equilibria We employ iteratively sampled data and
isoclines to locate these saddle points. Coupling a black-box sampling scheme
(e.g., Markov chain Monte Carlo) with manifold learning techniques (diffusion
maps in the case presented here), we show that our method reliably locates
equilibria of $X$.
- Abstract（参考訳）: リーマン多様体上の力学系の平衡(定常状態)を逐次見つけ出す方法を導入する。
多様体はアトラスや滑らかな写像の零点によって特徴づけられる必要はない。
代わりに、ポイントクラウドで定義し、反復的なプロセスを通じて必要に応じてサンプリングすることができる。
多様体がユークリッド空間であれば、我々の手法は、ベクトル場 $X$ の方向が定数となる曲線の等傾線に従う。
一般ベクトル場 $X$ に対して、アイソクラインは滑らかな曲線であり、すべての平衡はイソクラインの極限点である。
平行輸送を用いてリーマン多様体への同型写像の定義を一般化する: 一般化同型写像は曲線であり、その上で$X$の方向は互いに平行輸送である。
ユークリッドの場合と同様に、ジェネリックベクトル場の一般化等鎖線$X$は、$X$の平衡を接続する滑らかな曲線である。
我々の研究は計算統計力学、特に分子系のダイナミクスをモデル化する高次元(確率)微分方程式に動機づけられている。
これらのダイナミクスは、しばしば低次元多様体の近くに集中し、準安定平衡間の遷移(単一の不安定な方向を持つサドル点)を持つ。
ブラックボックスサンプリングスキーム(例えばマルコフ連鎖モンテカルロ)と多様体学習技法(この場合の拡散写像)を結合することにより、我々の手法が$X$の平衡を確実に見つけることを示す。
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