Fugu-MT 論文翻訳(概要): The Hurwitz Map and Harmonic Wave Functions for Integer and Half-Integer Angular Momentum

論文の概要: The Hurwitz Map and Harmonic Wave Functions for Integer and Half-Integer Angular Momentum

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.10775v1
Date: Sat, 19 Nov 2022 19:13:07 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2023-01-18 02:01:19.955844
Title: The Hurwitz Map and Harmonic Wave Functions for Integer and Half-Integer Angular Momentum
Title（参考訳）: 整数および半整数角運動量に対するハーヴィッツ写像と調和波関数
Authors: Sergio A. Hojman, Eduardo Nahmad-Achar, and Adolfo S\'anchez-Valenzuela
Abstract要約: 整数と半整数の角運動量に対する調和波動関数は、$SO(3)$ の回転を定義する角度 $(phi,theta,psi)$ で与えられる。 Cal H$ の波動関数は複素座標 $(z_z_2)$ で書くこともできる。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: Harmonic wave functions for integer and half-integer angular momentum are given in terms of the Euler angles $(\phi,\theta,\psi)$ that define a rotation in $SO(3)$, and the Euclidean norm $r$ in ${\Bbb R}^3$, keeping the usual meaning of the spherical coordinates $(r,\phi,\theta)$. They form a Hilbert (super)-space decomposed in the form $\Cal H=\Cal H_0\oplus\Cal H_1$. Following a classical work by Schwinger, $2$-dimensional harmonic oscillators are used to produce raising and lowering operators that change the total angular momentum eigenvalue of the wave functions in half units. The nature of the representation space $\Cal H$ is approached from the double covering group homomorphism $SU(2)\to SO(3)$ and the topology involved is taken care of by using the Hurwitz map $H:{\Bbb R}^4\to{\Bbb R}^3$. It is shown how to reconsider $H$ as a 2-to-1 group map, $G_0={\Bbb R}^+\times SU(2)\to {\Bbb R}^+\times SO(3)$, translating into an assignment $(z_1,z_2)\mapsto (r,\phi,\theta,\psi)$ in terms of two complex variables $(z_1,z_2)$, under the appropriate identification of ${\Bbb R}^4$ with ${\Bbb C}^2$. It is shown how the Lie algebra of $G_0$ is coupled with the two Heisenberg Lie algebras of the $2$-dimensional (Schwigner's) harmonic oscillators generated by the operators $\{z_1,z_2,\bar{z}_1,\bar{z}_2\}$ and their adjoints. The whole set of operators close either into a $9$-dimensional Lie algebra or into an $8$-dimensional Lie superalgebra. The wave functions in $\Cal H$ can also be written in terms polynomials in the complex coordinates $(z_1,z_2)$ and their complex conjugates $(\bar{z}_1,\bar{z}_2)$ and the representations are explicitly constructed via highest weight (or lowest weight) vector representations for $G_0$.
Abstract（参考訳）: 整数と半整数角運動量に対する調和波関数は、回転を $so(3)$ で定義するオイラー角 $(\phi,\theta,\psi)$ と、球面座標 $(r,\phi,\theta)$ の通常の意味を保ちながら、ユークリッドノルム $r$ in ${\bbb r}^3$ で与えられる。それらは、$\Cal H=\Cal H_0\oplus\Cal H_1$という形で分解されたヒルベルト空間を形成する。シュウィンガーの古典的な研究に続いて、2ドルの高調波発振器は半単位の波動関数の角運動量固有値を変化させる昇降作用素を生成するために用いられる。表現空間 $\cal h$ の性質は二重被覆群準同型 $su(2)\to so(3)$ から接近し、関連する位相は hurwitz 写像 $h:{\bbb r}^4\to{\bbb r}^3$ を用いて扱う。 2-to-1 のグループマップである $g_0={\bbb r}^+\times su(2)\to {\bbb r}^+\times so(3)$ を再検討する方法を示した。${\bbb c}^2$ の適切な識別の下で、$(z_1,z_2)\mapsto (r,\phi,\theta,\psi)$ という2つの複素変数の項で$(z_1,z_2)$ を$(z_1,z_2)$ に変換する。 G_0$ のリー代数は、作用素 $\{z_1,z_2,\bar{z}_1,\bar{z}_2\}$ とそれらの随伴によって生成される 2$次元(シュヴィヒナーの)調和振動子の2つのハイゼンベルクリー代数とどのように結合しているかを示す。作用素全体の集合は、9$次元リー代数か8$次元リー超代数に閉じる。また、$\cal h$ の波動関数は複素座標 $(z_1,z_2)$ とその複素共役 $(\bar{z}_1,\bar{z}_2)$ の多項式の項で書くことができ、これらの表現は$g_0$ の最高重(または最低重み)ベクトル表現によって明示的に構成される。

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