論文の概要: On linear-algebraic notions of expansion

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.13154v1
• Date: Mon, 26 Dec 2022 13:26:08 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-09 03:28:33.650531
• Title: On linear-algebraic notions of expansion
• Title（参考訳）: 拡大の線形代数的概念について
• Authors: Yinan Li, Youming Qiao, Avi Wigderson, Yuval Wigderson, Chuanqi Zhang
• Abstract要約: 量子展開器ではない次元展開器が存在することを証明している。 我々は次元展開という新しい概念を導入し、これが次元展開と同値であることを証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.008438491376555
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: A fundamental fact about bounded-degree graph expanders is that three notions of expansion -- vertex expansion, edge expansion, and spectral expansion -- are all equivalent. In this paper, we study to what extent such a statement is true for linear-algebraic notions of expansion. There are two well-studied notions of linear-algebraic expansion, namely dimension expansion (defined in analogy to graph vertex expansion) and quantum expansion (defined in analogy to graph spectral expansion). Lubotzky and Zelmanov proved that the latter implies the former. We prove that the converse is false: there are dimension expanders which are not quantum expanders. Moreover, this asymmetry is explained by the fact that there are two distinct linear-algebraic analogues of graph edge expansion. The first of these is quantum edge expansion, which was introduced by Hastings, and which he proved to be equivalent to quantum expansion. We introduce a new notion, termed dimension edge expansion, which we prove is equivalent to dimension expansion and which is implied by quantum edge expansion. Thus, the separation above is implied by a finer one: dimension edge expansion is strictly weaker than quantum edge expansion. This new notion also leads to a new, more modular proof of the Lubotzky--Zelmanov result that quantum expanders are dimension expanders.
• Abstract（参考訳）: 有界次グラフ展開に関する基本的な事実は、頂点展開、エッジ展開、スペクトル拡大の3つの概念がすべて同値であるということである。 本稿では,展開の線形代数的概念に対して,そのような言明がどの程度真であるかを考察する。 線形代数展開のよく研究されている概念は、次元展開(グラフ頂点展開の類似で定義される)と量子展開(グラフスペクトル展開の類似で定義される)である。 ルボツキーとゼルマノフは後者が前者を意味することを証明した。 逆は偽であり、量子展開器ではない次元展開器が存在することを証明している。 さらに、この非対称性はグラフエッジ展開の2つの異なる線形代数的類似が存在するという事実によって説明される。 ひとつは量子エッジ展開であり、hastingsによって導入され、量子拡張と同値であることが証明された。 我々は、次元拡大と同値であることが証明され、量子エッジ拡大によって暗示される新しい概念「次元エッジ展開」を導入する。 したがって、上記の分離はより細かいものである:次元のエッジ展開は量子のエッジ展開よりも厳密に弱い。 この新たな概念は、量子膨張器が次元拡大器であるという新しいモジュラーなルボツキー-ゼルマノフの証明にも繋がる。

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