論文の概要: Banach space formalism of quantum mechanics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.05630v1
- Date: Fri, 9 Jun 2023 02:31:57 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-06-12 15:08:37.258558
- Title: Banach space formalism of quantum mechanics
- Title（参考訳）: 量子力学のバナッハ空間形式論
- Authors: Zeqian Chen
- Abstract要約: 複素ヒルベルト空間以外の任意の複素バナッハ空間から始まる量子論を構築する。
我々の定式化は、量子力学のディラック・ヴォン・ノイマン形式をバナッハ空間の設定に一般化したものである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This paper presents a generalization of quantum mechanics from conventional
Hilbert space formalism to Banach space one. We construct quantum theory
starting with any complex Banach space beyond a complex Hilbert space, through
using a basic fact that a complex Banach space always admits a semi-inner
product. Precisely, in a complex Banach space $\mathbb{X}$ with a given
semi-inner product, a pure state is defined by Lumer \cite{Lumer1961} to be a
bounded linear functional on the space of bounded operators determined by a
normalized element of $\mathbb{X}$ under the semi-inner product, and then the
state space $\mathcal{S} (\mathbb{X})$ of the system is the weakly closed
convex set spanned by all pure states. Based on Lumer's notion of the state, we
associate a quantum system with a complex Banach space $\mathbb{X}$ equipped
with a fixed semi-inner product, and then define a physical event at a quantum
state $\omega \in \mathcal{S}(\mathbb{X})$ to be a projection $P$ (bounded
operator such that $P^2 =P$) in $\mathbb{X}$ satisfying the positivity
condition $0 \le \omega (P) \le 1,$ and a physical quantity at a quantum state
$\omega$ to be a spectral operator of scalar type with real spectrum so that
the associated spectral projections are all physical events at $\omega.$ The
Born formula for measurement of a physical quantity is the natural pairing of
operators with linear functionals satisfying the probability conservation law.
A time evolution of the system is governed by a one-parameter group of
invertible spectral operators determined by a scalar type operator with the
real spectrum, which satisfies the Schr\"{o}dinger equation. Our formulation is
just a generalization of the Dirac-von Neumann formalism of quantum mechanics
to the Banach space setting. We include some examples for illustration.
- Abstract（参考訳）: 本稿では、従来のヒルベルト空間形式からバナッハ空間形式への量子力学の一般化を提案する。
我々は、複素バナッハ空間が常に半インナー積を持つことの基本的な事実を用いて、複素ヒルベルト空間を超えた任意の複素バナッハ空間から量子論を構築する。
正確には、ある半インナー積を持つ複素バナッハ空間 $\mathbb{x}$ において、純粋な状態は、半インナー積の下で$\mathbb{x}$ の正規化元によって決定される有界作用素の空間上の有界線型汎函数であるとルマー・シュイクト(lumer \cite{lumer1961})によって定義され、その系の状態空間 $\mathcal{s} (\mathbb{x})$ は、すべての純粋状態にまたがる弱閉凸集合である。
Based on Lumer's notion of the state, we associate a quantum system with a complex Banach space $\mathbb{X}$ equipped with a fixed semi-inner product, and then define a physical event at a quantum state $\omega \in \mathcal{S}(\mathbb{X})$ to be a projection $P$ (bounded operator such that $P^2 =P$) in $\mathbb{X}$ satisfying the positivity condition $0 \le \omega (P) \le 1,$ and a physical quantity at a quantum state $\omega$ to be a spectral operator of scalar type with real spectrum so that the associated spectral projections are all physical events at $\omega.
物理量の測定のためのボルン公式は、確率保存則を満たす線形汎関数を持つ作用素の自然対である。
系の時間発展は、実スペクトルを持つスカラー型作用素によって決定される可逆スペクトル作用素の1パラメータ群によって制御され、これはschr\"{o}dinger方程式を満たす。
我々の定式化は、量子力学のディラック・ヴォン・ノイマン形式をバナッハ空間の設定に一般化したものである。
イラストにはいくつかの例があります。
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