論文の概要: Beyond trace class -- Tensor products of Hilbert spaces and operator ideals in quantum physics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2308.04627v3
- Date: Tue, 4 Jun 2024 22:48:49 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-07 04:16:10.151709
- Title: Beyond trace class -- Tensor products of Hilbert spaces and operator ideals in quantum physics
- Title（参考訳）: トレースクラスを超えて -- ヒルベルト空間のテンソル積と量子物理学における作用素イデアル
- Authors: Frank Oertel,
- Abstract要約: バナッハ作用素のイデアルは量子物理学と量子情報理論の基礎と哲学に潜んでいる。
我々はヒルベルト空間 $Hotimes (K otimes L)$ と $(H otimes K) otimes L$ (Theorem 3.8) の間の正準同型を確立し、トレースクラス作用素の役割を再考する。
ヒルベルト・シュミット作用素のクラスの有効性や、2つの複素空間$H otimes K$ (Proposition 3.4) のテンソル積の暗黙のバナッハ作用素の理想表現など、いくつかの応用が特定されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
- Abstract: Starting from the meaning of the conjugate of a complex Hilbert space, including a related application of the theorem of Fr\'{e}chet-Riesz (by which an analysis of semilinear operators can be reduced to - linear - operator theory) to a revisit of applications of nuclear and absolutely $p$-summing operators in algebraic quantum field theory in the sense of Araki, Haag and Kastler ($p=2$) and more recently in the framework of general probabilistic spaces ($p=1$), we will outline that Banach operator ideals in the sense of Pietsch, or equivalently tensor products of Banach spaces in the sense of Grothendieck are even lurking in the foundations and philosophy of quantum physics and quantum information theory. In particular, we concentrate on their importance in algebraic quantum field theory. In doing so, we establish a canonical isometric isomorphism between the Hilbert spaces $H\otimes_2 (K \otimes_2 L)$ and $(H \otimes_2 K) \otimes_2 L$ (Theorem 3.8) and revisit the role of trace class operators. A few applications are specified, including the appropriateness of the class of Hilbert-Schmidt operators and an implied Banach operator ideal representation of the tensor product of two complex Hilbert spaces $H \otimes_2 K$ (Proposition 3.4) and a purely linear algebraic description of the quantum teleportation process (Example 3.10).
- Abstract（参考訳）: 複素ヒルベルト空間の共役の意味から始め、Fr\'{e}chet-Riesz(半線型作用素の解析を-線型作用素理論に還元する)の定理の関連する応用から、アーラキ、ハーグ、カストラー(p=2$)という意味での代数量子場理論における核および絶対$p$-summing作用素の応用の再検討、さらに最近では一般確率空間(p=1$)の枠組みにおいてバナッハ作用素のピエッチュの意味でのイデアル、あるいはグロテンディークの意味でのバナッハ空間の同値なテンソル積が、量子物理学や情報理論の基礎や理論にさえ潜んでいることを概説する。
特に、代数的場の量子論におけるそれらの重要性に焦点をあてる。
そのような場合、ヒルベルト空間 $H\otimes_2 (K \otimes_2 L)$ と $(H \otimes_2 K) \otimes_2 L$ (Theorem 3.8) の間の正準同型を確立し、トレースクラス作用素の役割を再検討する。
ヒルベルト・シュミット作用素のクラスが適切であることや、2つの複素ヒルベルト空間のテンソル積のインプリッドバナッハ作用素の理想表現 (H \otimes_2 K$ (Proposition 3.4) や、量子テレポーテーション過程の純粋線型代数的記述 (Example 3.10) など、いくつかの応用が指定されている。
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