論文の概要: Spectral quantization of discrete random walks on half-line, and orthogonal polynomials on the unit circle
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2306.12265v2
- Date: Sun, 1 Sep 2024 20:57:08 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-09-04 22:44:54.707897
- Title: Spectral quantization of discrete random walks on half-line, and orthogonal polynomials on the unit circle
- Title（参考訳）: 半直線上の離散ランダムウォークのスペクトル量子化と単位円上の直交多項式
- Authors: Adam Doliwa, Artur Siemaszko,
- Abstract要約: 我々は、単位円上のバーブの観点で量子ウォークのユニタリ進化作用素を表す。
マルコフ系とそれらの測度の両方が古典的なSzegHo写像によって連結されていることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We define quantization scheme for discrete-time random walks on the half-line consistent with Szegedy's quantization of finite Markov chains. Motivated by the Karlin and McGregor description of discrete-time random walks in terms of polynomials orthogonal with respect to a measure with support in the segment $[-1,1]$, we represent the unitary evolution operator of the quantum walk in terms of orthogonal polynomials on the unit circle. We find the relation between transition probabilities of the random walk with the Verblunsky coefficients of the corresponding polynomials of the quantum walk. We show that the both polynomials systems and their measures are connected by the classical Szeg\H{o} map. Our scheme can be applied to arbitrary Karlin and McGregor random walks and generalizes the so called Cantero-Gr\"{u}nbaum-Moral-Vel\'{a}zquez method. We illustrate our approach on example of random walks related to the Jacobi polynomials. Then we study quantization of random walks with constant transition probabilities where the corresponding polynomials on the unit circle have two-periodic real Verblunsky coefficients. We present geometric construction of the spectrum of such polynomials (in the general complex case) which generalizes the known construction for the Geronimus polynomials. In the Appendix we present the explicit form, in terms of Chebyshev polynomials of the second kind, of polynomials orthogonal on the unit circle and polynomials orthogonal on the real line with coefficients of arbitrary period.
- Abstract（参考訳）: 我々は、半直線上の離散時間ランダムウォークの量子化スキームを、有限マルコフ鎖のSzegedyの量子化と整合的に定義する。
カルリンとマクグレガーによる直交多項式の離散時間ランダムウォークの記述により、セグメント $[-1,1]$ で支えられた測度に関して直交多項式の項での離散時間ランダムウォークの記述により、単位円上の直交多項式の項で量子ウォークのユニタリ進化作用素を表す。
ランダムウォークの遷移確率と量子ウォークの対応する多項式のベルブルンスキー係数の関係を見出した。
両多項式系とその測度は古典的 Szeg\H{o} 写像で連結であることを示す。
我々のスキームは任意のカルリンとマクレガーのランダムウォークに適用でき、いわゆるカンテロ=Gr\"{u}nbaum-Moral-Vel\'{a}zquez法を一般化することができる。
本稿では,ヤコビ多項式に関するランダムウォークの例について述べる。
次に、単位円上の対応する多項式が2周期実ヴァーブルンスキー係数を持つような一定遷移確率を持つランダムウォークの量子化について検討する。
我々は、ジェロニムス多項式の既知の構成を一般化するそのような多項式のスペクトル(一般複素の場合)の幾何学的構成を示す。
アペンディックスでは、単位円上で直交する多項式と任意の周期の係数を持つ実直線上で直交する多項式の第二種のチェビシェフ多項式に関して、明示的な形式を提示する。
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