論文の概要: Small-time controllability for the nonlinear Schr\"odinger equation on
$\mathbb{R}^N$ via bilinear electromagnetic fields
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2307.15819v2
- Date: Fri, 1 Mar 2024 18:51:23 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-03-05 20:40:56.558849
- Title: Small-time controllability for the nonlinear Schr\"odinger equation on
$\mathbb{R}^N$ via bilinear electromagnetic fields
- Title（参考訳）: 双線型電磁場による$\mathbb{R}^N$上の非線形シュリンガー方程式の短時間制御性
- Authors: Alessandro Duca and Eugenio Pozzoli
- Abstract要約: 非線形シュラー・オーディンガー方程式(NLS)の磁場および電場の存在下での最小時間制御可能性問題に対処する。
詳細は、十分に大きな制御信号によって、所望の速度で(NLS)のダイナミクスを制御できる時期について調べる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 55.2480439325792
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We address the small-time controllability problem for a nonlinear
Schr\"odinger equation (NLS) on $\mathbb{R}^N$ in the presence of magnetic and
electric external fields. We choose a particular framework where the equation
becomes $i\partial_t \psi = [-\Delta+u_0(t)h_{\vec{0}}+\langle u(t), P\rangle
+\kappa|\psi|^{2p}]\psi$. Here, the control operators are defined by the zeroth
Hermite function $h_{\vec{0}}(x)$ and the momentum operator $P=i\nabla$. In
detail, we study when it is possible to control the dynamics of (NLS) as fast
as desired via sufficiently large control signals $u_0$ and $u$. We first show
the existence of a family of quantum states for which this property is
verified. Secondly, by considering some specific states belonging to this
family, as a physical consequence we show the capability of controlling
arbitrary changes of energy in bounded regions of the quantum system, in time
zero. Our results are proved by exploiting the idea that the nonlinear term in
(NLS) is only a perturbation of the linear problem when the time is as small as
desired. The core of the proof, then, is the controllability of the bilinear
equation which is tackled by using specific non-commutativity properties of
infinite-dimensional propagators.
- Abstract（参考訳）: 非線形 schr\"odinger 方程式 (nls) の磁気場と電場の存在下では$\mathbb{r}^n$ 上の小さな時間制御可能性問題に対処する。
方程式が $i\partial_t \psi = [-\Delta+u_0(t)h_{\vec{0}}+\langle u(t), P\rangle +\kappa|\psi|^{2p}]\psi$ となる特定のフレームワークを選択する。
ここで、制御作用素はゼロのエルミート函数 $h_{\vec{0}}(x)$ と運動量作用素 $P=i\nabla$ で定義される。
詳細は、十分に大きな制御信号$u_0$および$u$を介して、所望の速さで(NLS)のダイナミクスを制御できることについて検討する。
まず、この性質が検証される量子状態の族の存在を示す。
第二に、この族に属する特定の状態を考えることによって、時間 0 において量子系の有界領域におけるエネルギーの任意の変化を制御する能力を示す。
この結果は,(nls)における非線形項は,所望の時間に限り小さい場合の線形問題の摂動である,という考え方を生かして証明される。
証明の中核は双線型方程式の可制御性であり、無限次元プロパゲータの特定の非可換性を用いて取り組まれる。
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