論文の概要: Designs from Local Random Quantum Circuits with SU(d) Symmetry
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.08155v1
- Date: Fri, 15 Sep 2023 04:41:10 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-09-18 16:06:02.831379
- Title: Designs from Local Random Quantum Circuits with SU(d) Symmetry
- Title（参考訳）: SU(d)対称性を持つ局所ランダム量子回路の設計
- Authors: Zimu Li, Han Zheng, Junyu Liu, Liang Jiang, Zi-Wen Liu
- Abstract要約: 局所的なユニタリ回路のアンサンブルを$k$-designsに収束させることは、ランダム量子回路モデルにおける中心的な問題である。
我々は、SU$(d)$対称性を持つユニタリ$k$-設計を達成できる明示的な局所ユニタリアンサンブルを提案する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.33252405899699
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The convergence of local unitary circuit ensembles to $k$-designs
(distributions that emulate the Haar measure up to $k$-th moments) is a central
problem in random quantum circuit models which play key roles in the study of
quantum information as well as physics. Despite the extensive study of this
problem for Haar (completely) random circuits, the crucial situations where
symmetries or conservation laws are present remain little understood and are
known to pose significant challenges. We propose, for the first time, an
explicit local unitary ensemble that is capable of achieving unitary
$k$-designs with SU$(d)$ symmetry. To achieve this, we employ the novel
Okounkov-Vershik approach to $S_n$ representation theory in quantum physics. We
define the Convolutional Quantum Alternating group (CQA) with the corresponding
ensemble generated by 4-local SU$(d)$-symmetric unitaries and prove that for
all $k < n(n-3)/2$, they form SU$(d)$-symmetric $k$-designs in both exact and
approximate ways. We develop a numerical method using the Young orthogonal form
and $S_n$ branching rule to study the convergence time of CQA ensemble and
provide a strong evidence for nonconstant spectral gap. Then we conjecture a
convergence time $\Theta(n^4 \log(1/\epsilon))$ of 1D CQA ensemble to
$\epsilon$-approximate 2-design in contrast to its counterpart $O(n^2 \log
(1/\epsilon))$ with no symmetry. We also provide comprehensive explanations of
the potential difficulties and limitations to analyze the convergence time
mathematically through classical methods that worked well for the case without
symmetries including local gap threshold, martingale method, and representation
theory under SU$(d)$ symmetry, suggesting that a new approach is likely needed
to rigorously understand the convergence time of local random circuits with
SU$(d)$ symmetry.
- Abstract（参考訳）: 局所ユニタリ回路のアンサンブルが$k$-designs(Haar測度を最大$k$-th momentsにエミュレートする分布)に収束することは、量子情報や物理学の研究において重要な役割を果たすランダム量子回路モデルにおいて中心的な問題である。
ハール(完全に)ランダム回路におけるこの問題の広範な研究にもかかわらず、対称性や保存法則が存在する重要な状況はほとんど理解されておらず、重大な課題を生じさせることが知られている。
我々は、SU$(d)$対称性を持つユニタリな$k$-設計を達成できる明示的な局所ユニタリアンサンブルを初めて提案する。
これを達成するために、量子物理学において、Okounkov-Vershikアプローチを$S_n$表現理論に適用する。
畳み込み量子交代群 (cqa) を 4-局所su$(d)$-対称ユニタリによって生成される対応するアンサンブルで定義し、すべての$k < n(n-3)/2$ に対して、正確にも近似的にsu$(d)$-symmetric$k$-designsを形成することを証明する。
我々は,CQAアンサンブルの収束時間を研究するために,ヤング直交形式と$S_n$分岐規則を用いて数値計算法を開発し,非定常スペクトルギャップの強い証拠を提供する。
次に、1d cqaアンサンブルの収束時間$\theta(n^4 \log(1/\epsilon))$を$\epsilon$-approximate 2-designと推定する。
また,局所ギャップしきい値,martingale法,su$(d)$対称性に基づく表現理論などの対称性のない場合に適した古典的手法を用いて,収束時間を数学的に解析するための潜在的な困難と限界を包括的に説明し,su$(d)$対称性を持つ局所ランダム回路の収束時間を厳密に理解するために新しい手法が必要であることを示唆する。
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