論文の概要: Designs from Local Random Quantum Circuits with SU(d) Symmetry
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.08155v3
- Date: Mon, 30 Dec 2024 08:06:03 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-31 15:59:52.085054
- Title: Designs from Local Random Quantum Circuits with SU(d) Symmetry
- Title（参考訳）: SU(d)対称性を持つ局所ランダム量子回路の設計
- Authors: Zimu Li, Han Zheng, Junyu Liu, Liang Jiang, Zi-Wen Liu,
- Abstract要約: 我々は、連続対称性の下で高次ユニタリな$k$-設計を達成できる明示的な局所ユニタリアンサンブルを初めて構築する。
具体的には、4-局所SU$(d)$-対称ハミルトニアンによって生成される畳み込み量子交互群(CQA)を定義する。
すべての$k n(n-3)/2$に対して、SU$(d)$-symmetric $k$-designs となり、$n$はクォーディットの数であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.563048698227115
- License:
- Abstract: The generation of $k$-designs (pseudorandom distributions that emulate the Haar measure up to $k$ moments) with local quantum circuit ensembles is a problem of fundamental importance in quantum information and physics. Despite the extensive understanding of this problem for ordinary random circuits, the crucial situations where symmetries or conservation laws are in play are known to pose fundamental challenges and remain little understood. We construct, for the first time, explicit local unitary ensembles that can achieve high-order unitary $k$-designs under transversal continuous symmetry, in the particularly important SU$(d)$ case. Specifically, we define the Convolutional Quantum Alternating group (CQA) generated by 4-local SU$(d)$-symmetric Hamiltonians as well as associated 4-local SU$(d)$-symmetric random unitary circuit ensembles, and prove that they form and converge to SU$(d)$-symmetric $k$-designs, respectively, for all $k < n(n-3)/2$ with $n$ being the number of qudits. A key technique that we employ to obtain the results is the Okounkov--Vershik approach to $S_n$ representation theory. To study the convergence time of the CQA ensemble, we develop a numerical method using the Young orthogonal form and $S_n$ branching rule. We provide strong evidence for a subconstant spectral gap and certain convergence time scales of various important circuit architectures, which contrast with the symmetry-free case. We also provide comprehensive explanations of the difficulties and limitations in rigorously analyzing the convergence time using methods that have been effective for cases without symmetries, including Knabe's local gap threshold and Nachtergaele's martingale methods. This suggests that a novel approach is likely necessary for understanding the convergence time of SU$(d)$-symmetric local random circuits.
- Abstract（参考訳）: 局所的な量子回路のアンサンブルとハール測度をエミュレートする$k$-designs (pseudorandom distributions) の生成は、量子情報と物理学における根本的な重要性の問題である。
通常のランダム回路に対するこの問題の広範な理解にもかかわらず、対称性や保存法則が成立する決定的な状況は基本的な課題を提起し、ほとんど理解されていない。
我々は初めて、特に重要なSU$(d)$の場合において、超連続対称性の下で高次ユニタリ$k$-設計を達成できる明示的な局所ユニタリアンサンブルを構築した。
具体的には、4-局所 SU$(d)$-対称ハミルトニアンと関連する 4-局所 SU$(d)$-対称ランダムなユニタリ回路アンサンブルによって生成される畳み込み量子交互群(CQA)を定義し、すべての$k < n(n-3)/2$に対して、それぞれ SU$(d)$-対称な$k$-デザインに形成および収束することを証明する。
この結果を得るために私たちが採用する重要なテクニックは、Okounkov--Vershik の $S_n$表現論へのアプローチである。
CQAアンサンブルの収束時間を調べるために,ヤング直交形式と$S_n$分岐則を用いた数値計算法を開発した。
我々は、対称性のないケースとは対照的に、サブコンスタントスペクトルギャップと様々な重要な回路アーキテクチャの収束時間スケールの強い証拠を提供する。
また,Knabe の局所ギャップ閾値や Nachtergaele のマーチンゲール法など,対称性のないケースに有効であった手法を用いて,収束時間の厳密な分析における困難さと限界を包括的に説明する。
このことは、SU$(d)$-対称局所ランダム回路の収束時間を理解するために新しいアプローチが必要であることを示唆している。
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