論文の概要: Quantum Algorithm for Estimating Betti Numbers Using Cohomology Approach

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2309.10800v3
• Date: Mon, 16 Jun 2025 13:49:30 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-17 19:42:49.018186
• Title: Quantum Algorithm for Estimating Betti Numbers Using Cohomology Approach
• Title（参考訳）: コホモロジーアプローチによるベティ数推定のための量子アルゴリズム
• Authors: Nhat A. Nghiem, Xianfeng David Gu, Tzu-Chieh Wei,
• Abstract要約: トポロジカルデータ分析は大規模データ分析の強力なツールとして登場した。 我々は双対のアプローチ、すなわちコホモロジーを利用して、ホッジ理論の洞察とデ・ラムコホモロジーの洞察を組み合わせた。 より詳細な分析を行い、我々のコホモロジーフレームワークは、いくつかの制度において以前のホモロジー法よりも指数関数的に高速に動作可能であることを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.9575197577946544
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Topological data analysis has emerged as a powerful tool for analyzing large-scale data. An abstract simplicial complex, in principle, can be built from data points, and by using tools from homology, topological features could be identified. Given a simplex, an important feature is called the Betti numbers, which roughly count the number of `holes' in different dimensions. Calculating Betti numbers exactly can be $\#$P-hard, and approximating them can be NP-hard, which rules out the possibility of any generic efficient algorithms and unconditional exponential quantum speedup. Here, we explore the specific setting of a triangulated manifold. In contrast to most known methods to estimate Betti numbers, which rely on homology, we exploit the `dual' approach, namely, cohomology, combining the insight of the Hodge theory and de Rham cohomology. Our proposed algorithm can calculate its $r$-th normalized Betti number $\beta_r/|S_r|$ up to some additive error $\epsilon$ with running time $\mathcal{O}\Big(\frac{\log(|S_r^K| |S_{r+1}^K|)}{\epsilon^2} \log (\log |S_r^K|) \big( r\log |S_r^K| \big) \Big)$, where $|S_r|$ is the number of $r$-simplexes in the given complex. For the estimation of $r$-th Betti number $\beta_r$ to a chosen multiplicative accuracy $\epsilon'$, our algorithm has complexity $ \mathcal{O}\Big(\frac{\log(|S_r^K| |S_{r+1}^K|)}{\epsilon'^2} \big( \frac{ \Gamma}{\beta_r}\big)^2 (\log |S_r^K|) \log \big( r\log |S_r^K| \big) \Big)$, where $\Gamma \leq |S_r^K|$ can be chosen. A detailed analysis is provided, showing that our cohomology framework can even perform exponentially faster than previous homology methods in several regimes. In particular, our method is most effective when $\beta_r \ll |S_r^K|$, which can offer more flexibility and practicability than existing quantum algorithms that achieve the best performance in the regime $\beta_r \approx |S_r^K|$.
• Abstract（参考訳）: トポロジカルデータ分析は大規模データ分析の強力なツールとして登場した。 抽象的な単体複体は、原則として、データポイントから構築することができ、ホモロジーのツールを使うことで、位相的特徴を特定できる。 単純式が与えられたとき、重要な特徴はベッチ数と呼ばれ、異なる次元における「ホール」の数を概算する。 ベッチ数を正確に計算することは$\#$P-hardであり、それらを近似することはNP-hardであり、任意の一般的な効率的なアルゴリズムと非条件の指数的量子スピードアップの可能性を規定する。 ここでは、三角多様体の特定の設定について考察する。 ホモロジーに依存するベッチ数を推定する最もよく知られた方法とは対照的に、我々は「双対」アプローチ、すなわちコホモロジーを使い、ホッジ理論の洞察とデ・ラムコホモロジーを組み合わせている。 提案アルゴリズムは,その$r$-th正規化ベティ数$\beta_r/|S_r|$を,実行時間$\mathcal{O}\Big(\frac{\log(|S_r^K| |S_{r+1}^K|)}{\epsilon^2} \log(\log |S_r^K|) \big(r\log |S_r^K| \big) \big)$で計算する。 r$-th Betti number $\beta_r$ to a selected multiplicative accuracy $\epsilon'$, our algorithm have complexity $ \mathcal{O}\Big(\frac{\log(|S_r^K| |S_{r+1}^K|)}{\epsilon'^2} \big( \frac{ \Gamma}{\beta_r}\big)^2(\log |S_r^K|) \log \big(r\log |S_r^K| \big) \Big)$, where $\Gamma \leq |S_r^K| \big)$。 より詳細な分析を行い、我々のコホモロジーフレームワークは、いくつかの制度において以前のホモロジー法よりも指数関数的に高速に動作可能であることを示した。 特に,本手法は,既存の量子アルゴリズムよりも柔軟性と実用性が高い$\beta_r \ll |S_r^K|$の場合に有効である。

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