論文の概要: Poisson Geometric Formulation of Quantum Mechanics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.05615v1
- Date: Sat, 9 Dec 2023 17:05:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-12-12 19:48:50.100684
- Title: Poisson Geometric Formulation of Quantum Mechanics
- Title(参考訳): ポアソン幾何学的量子力学定式化
- Authors: Pritish Sinha and Ankit Yadav
- Abstract要約: 有限次元混合状態と純粋状態に対する量子力学の幾何学的定式化について検討する。
量子力学は古典力学の言語で理解可能であることを示す。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 0.8158530638728501
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the Poisson geometrical formulation of quantum mechanics for finite
dimensional mixed and pure states. Equivalently, we show quantum mechanics can
be understood in the language of classical mechanics. We review the symplectic
structure of the Hilbert space and identify canonical coordinates. We find the
geometry extends to space of density matrices $D_N^+$. It is no more symplectic
but follows $\mathfrak{su}(N)$ Poisson commutation relation. We identify
Casimir surfaces for this algebra and show physical pure states constitute one
of the symplectic submanifold lying on the intersection of primitive Casimirs.
Various forms of primitive Casimirs are identified. Generic symplectic
submanifolds of $D_N^+$ are identified and dimensions of the same are
calculated. $D_N^+$ is written as a disjoint union of such symplectic
submanifolds. $D_N^+$ and its Poisson structure is recovered from partial
tracing of the pure states in $\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^M$ and its
symplectic structure. Geometry of physical pure states $\mathbb{C}P^{N-1}$ is
also reconciled with Poisson geometry of full space of density matrices
$D_N^+$. An ascending chain of Poisson submanifolds $D_N^M \subset D_N^{M+1}$
are identified with respect to $\subset$ for $M \leq N$. Each Poisson
submanifold lies on the intersection of $N-M$ Casimirs and is constructed by
tracing out the $\mathbb{C}^M$ states in $\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^M$.
Their foliations are also discussed. Constraints on the geometry due to
positive semi-definiteness on a class of symplectic submanifolds $E_N^M$
consisting of mixed states with maximum entropy in $D_N^M$ are studied.
- Abstract(参考訳): 有限次元混合状態および純粋状態に対する量子力学のポアソン幾何学的定式化について検討する。
同様に、量子力学は古典力学の言語で理解可能であることを示す。
我々はヒルベルト空間のシンプレクティック構造をレビューし、標準座標を同定する。
幾何は密度行列の空間に拡張され、$D_N^+$となる。
もはやシンプレクティックではないが、$\mathfrak{su}(N)$ Poisson commutation relation に従う。
この代数のカシミール曲面を同定し、物理的な純粋状態が原始カシミールの交叉上にあるシンプレクティック部分多様体の1つであることを示す。
様々な種類の原始カシミールが同定される。
D_N^+$の一般シンプレクティック部分多様体を同定し、その次元を算出する。
D_N^+$ はそのようなシンプレクティック部分多様体の非連結和として記述される。
D_N^+$とそのポアソン構造は、$\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^M$とそのシンプレクティック構造における純粋状態の部分的トレースから復元される。
物理純状態の幾何学 $\mathbb{C}P^{N-1}$ もまた密度行列の全空間のポアソン幾何$D_N^+$ と整合される。
ポアソン部分多様体の昇鎖 $D_N^M \subset D_N^{M+1}$ は $\subset$ for $M \leq N$ に対して同一視される。
各ポアソン部分多様体は、$N-M$ Casimirsの交叉上にあり、$\mathbb{C}^M$状態を$\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^M$で追跡することによって構成される。
葉も議論されている。
最大エントロピーが$d_n^m$の混合状態からなるシンプレクティック部分多様体のクラスにおける正の半定値による幾何学上の制約について検討した。
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