論文の概要: Poisson Geometric Formulation of Quantum Mechanics
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2312.05615v2
- Date: Mon, 3 Jun 2024 11:48:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2024-06-04 20:01:52.202345
- Title: Poisson Geometric Formulation of Quantum Mechanics
- Title（参考訳）: ポアソン幾何学による量子力学の定式化
- Authors: Pritish Sinha, Ankit Yadav,
- Abstract要約: 有限次元混合状態と純粋状態に対する量子力学の幾何学的定式化について検討する。
量子力学は古典力学の言語で理解可能であることを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.6906005491572401
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the Poisson geometrical formulation of quantum mechanics for finite dimensional mixed and pure states. Equivalently, we show that quantum mechanics can be understood in the language of classical mechanics. We review the symplectic structure of the Hilbert space and identify its canonical coordinates. We extend the geometric picture to the space of density matrices $D_N^+$. We find it is not symplectic but admits a linear $\mathfrak{su}(N)$ Poisson structure. We identify Casimir surfaces of $D_N^+$ and show that the space of pure states $P_N \equiv \mathbb{C}P^{N-1}$ is one of its symplectic submanifolds which is an intersection of primitive Casimirs. We identify generic symplectic submanifolds of $D_N^+$ and calculate their dimensions. We find that $D_N^+$ is singularly foliated by the symplectic leaves of varying dimensions, also known as coadjoint orbits. We also find an ascending chain of Poisson submanifolds $D_N^M \subset D_N^{M+1}$ for $ 1 \leq M \leq N-1$. Each such Poisson submanifold $D_N^M$ is obtained by tracing out the $\mathbb{C}^M$ states from the bipartite system $\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^M$ and is an intersection of $N-M$ primitive Casimirs of $D_N^+$. Their Poisson structure is induced from the symplectic structure of the bipartite system. We also show their foliations. Finally, we study the positive semi-definite geometry of the symplectic submanifold $E_N^M$ consisting of the mixed states with maximum entropy in $D_N^M$.
- Abstract（参考訳）: 有限次元混合状態と純粋状態に対する量子力学のポアソン幾何学的定式化について検討する。
同様に、量子力学は古典力学の言語で理解可能であることを示す。
ヒルベルト空間のシンプレクティック構造を概観し、その標準座標を同定する。
幾何図形を密度行列の空間に拡張し、$D_N^+$とする。
シンプレクティックではないが、線型$\mathfrak{su}(N)$ Poisson構造を持つ。
D_N^+$ のカシミール曲面を同定し、純粋な状態の空間 $P_N \equiv \mathbb{C}P^{N-1}$ が原始カシミールの交叉であるシンプレクティック部分多様体の1つであることを示す。
我々は、D_N^+$の一般シンプレクティック部分多様体を同定し、それらの次元を計算する。
D_N^+$ は、共役軌道としても知られる様々な次元のシンプレクティックな葉によって特異に葉分かれしている。
また、ポアソン部分多様体の昇鎖は$D_N^M \subset D_N^{M+1}$ for $ 1 \leq M \leq N-1$である。
そのようなポアソン部分多様体 $D_N^M$ は、双分数系 $\mathbb{C}^N \times \mathbb{C}^M$ から $\mathbb{C}^M$ 状態を探し出し、$D_N^+$ のプリミティブ Casimirs の交叉である。
彼らのポアソン構造はバイパルタイトのシンプレクティック構造から誘導される。
私たちは彼らの葉も見せます。
最後に、シンプレクティック部分多様体 $E_N^M$ の正半定幾何を、最大エントロピーを持つ混合状態の$D_N^M$ で調べる。
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